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正三角形の面積、 正五角形の面積

一辺をXとした正三角形の面積の 求めかたを教えてください。 それと、一辺をXとした正五角形の 面積の求めかたを教えてください。 お願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)
回答No.3

正三角形の面積の求め方は出ているので、 正五角形の面積についてのみ触れます。 ANo.1さんは『正五角形は正三角形の5つの集まり』と述べていますが、 正五角形は二等辺三角形の5つの集まりです。 なので正三角形の面積を利用することはできません。 > それと、一辺をXとした正五角形の > 面積の求めかたを教えてください。 半径rの円に内接する正五角形を作り、 円の中心から正五角形の各頂点に向けて線分を引きます。 すると二等辺三角形が5つ作れるので この二等辺三角形1個の面積を求め、それを5倍します。 一応この方法で面積は求められます (この方法だと面積はrの式になりますが、これをXの式に変換することも可能です)。 ただこの方法で正五角形の面積を求めるには、 高校数学の三角比の知識が必要です。 (もっと簡単に求める方法があるかもしれません) 計算したところ、一辺Xの正五角形の面積は次のようになりました。 Xとかけ算の記号が紛らわしいので、かけ算する部分はそのままひらがなで書いています。 また、X^2は『Xの二乗』を表します。 (5/4) かける { sin72°/(1 - cos72°)} かける X^2 ちなみに、 sin72° = { √(10 + 2√5)} / 4 cos72° = ( -1 + √5 ) / 4 となるみたいです。

T-soul
質問者

お礼

御回答有難うございました。 わかりやすく書き込んでもらい感謝です。

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その他の回答 (4)

  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)
回答No.5

余り賢明な方法ではない。 >sin5θ=sin(3θ+2θ)=sin3θcos2θ+cos3θsin2θ (加法定理) 36°=θとすると、5θ=πから 2θ=π-3θとして両辺のsinをとればよい。

T-soul
質問者

お礼

御回答有難うございました。 参考にさせていただきます。

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  • staratras
  • ベストアンサー率41% (1492/3635)
回答No.4

正5角形の面積を求めるにはNo.2様の解答のように計算する場合 36°の三角関数を求める必要があります。その方法のあらすじを示します。 sin5θ=sin(3θ+2θ)=sin3θcos2θ+cos3θsin2θ (加法定理) これに、3倍角の公式、2倍角の公式を代入して5倍角の公式を作ると sin5θ=16(sinθ)^5-20(sinθ)^3+5sinθ θ=36° とすると sin5θ=sin180°=0 sinθ=x とおくと x(16x^4-20x^2+5)=0 sin36°≠0 より x≠0 カッコ内の方程式を解いて x^2を求め、さらにx(=sin36°)を求めることができます。 sin36°が分かれば、cos36° tan36°も求められます。 

T-soul
質問者

お礼

御回答有難うございました。 細かく説明してもらってとても わかりやすいです

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  • xitoaki
  • ベストアンサー率35% (36/101)
回答No.2

no.1さんの回答の補足&訂正 三角形についてはいいのですが、 5角形は正三角形の5つの集まりではありません。 底辺がX、頂点が360÷5度の2等辺三角形5つの集まりです。 5角形の頂点角度は上記式より頂点が72度の2等辺三角形です。 これは鋭角が72÷2=36度、短辺がX/2の直角三角形2個の集まりです。 高さは角度がわかっているので、タンジェント表を使えば 求めることが出来ます。(手元にないので今計算できませんが) 後は高さ×X÷2で1つの2等辺三角形の面積が出ますので、 ×5すれば全体の面積が出ます。 もっと簡単な方法があるかもしれませんが、 この方法ですと正n角形の面積や周囲が導き出せるので、 n角を極大まで大きくすれば、 円周=2×半径×PIで定義される円周率を求めることも可能です。

T-soul
質問者

お礼

御回答有難うございました。 参考にさせていただきます。

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  • p-p
  • ベストアンサー率35% (1974/5620)
回答No.1

正三角形を2等分します 2等分した三角形の一番短い辺の長さはXの1/2になります 高さをyと置いた場合 ピタゴラスの定理より y2乗=X2乗 - (X/2)2乗 y2乗=3/4 X2乗 それぞれをルートして y = √3/2 X 正三角形の半分の面積は y x 1/2Xなので √3/2 X x 1/2X ÷2 = √3/8 X2乗 正三角形は2倍なので √3/4 X2乗 正五角形は正三角形の5つの集まりなので5倍して 5√3/4 X2乗 

T-soul
質問者

お礼

御回答有難うございました。 正五角形はちょっと間違っていますが 正三角形の回答をありがたく 拝見させていただきます

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