- ベストアンサー
sinとexpで表した定在波の違い
- 波をcos,sinで表す場合とexpで表す場合の定在波の違いについて困惑しています。
- 振幅AとBが一致していないとcos,sinで表した定在波が作れませんが、expで表す場合は振幅の差は関係ありません。
- 定在波の定義は「ｔの振動の部分とｘの振動の部分に分離された波動の関数」と考えています。どう理解すればよいでしょうか？
- みんなの回答 （11）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
肝心なことをいってなかったので補足だけ最後にさせて下さい。 kx-ωtの関数f(kx-ωt)が解となるのは、いわゆる "通常"の波動方程式においてです。波動方程式 の一般解は、f(x-ct)とg(x＋ct)の重ねあわせです。通常の波動方程式とは例の、変位uの 空間xに関する2階微分が、変位uの時間tに関する2階微分を位相速度の２乗でわったものに等しい、という式です。量子力学では、しかしドブロイ波の従う式は 上述の波動方程式ではなく、時間に関して1階微分の 波動方程式(シュレディンガー方程式)です。 これの解は、必ずしもf(kx-ωt)とはならないのです。 ですから、sin(kx-ωt)は通常の波動方程式には 従っても、シュレディンガー方程式には従わないから 量子力学では進行波とはなり得ません。 量子力学で進行波となるのは、シュレディンガー方程式を満たし、かつkx-ωtの関数となるものです。 それで、時間に依存するシュレディンガー方程式において、既にe^-iωtという時間因子は分離されています。ですから、時間に依存しないシュレディンガー方程式において、e^iaxという形にならなければ、 kx-ωtの関数にはならないわけです。その、e^iaxに比例する時間に依存しないシュレディンガー方程式の解とは、運動量の固有関数に他なりません。ですから、 運動量の固有関数が進行波となるのは、やはり必然です。 分散について分かりずらかったかもしれませんね。 進行速度の違う進行波(運動量固有関数)を重ね合わせると、波が進行しているというより、ダラ～と広がっていく波が出来るということです。
その他の回答 (10)
訂正。右向きCexp(iwt-ikx)、左向きをDexp-iwt-ikx とするべきかと思います× 右向きCexp(-iwt＋ikx)、左向きをDexp-iwt-ikx○
周期的境界条件の背景ですか、これについては おそらく固体電子論等の周期ポテンシャルに関係する かと思います。周期ポテンシャルよりも高いエネルギーを持つ自由電子の運動ではないでしょうか。残念ながら、固体電子論に深入りしたことはないので、詳しい回答はできません。 <<量子力学での「進行波」というもののしっかりした定義 これについては、まず元々の時間に依存するシュレディンガー方程式を考えると（以下dは偏微分です) ihdΦ/dt=HΦ これにΦ=X(x)T(t)という、変数分離系の解を仮定し代入すると, ihX(x)dT(t)/dt=T(t)HX(x) この両辺をX(x)T(t)で割ると、 ih/T・dT(t)/dt=1/X・HX(x)となり、xに依存する 式とtに依存する式で完全に分離され、xとtは独立 だから、上の式を満たすのは定数ということになります:ih/T・dT(t)/dt=1/X・HX(x)≡E これをT(t)について解くと、T(t)=e^-iEt/h となります。Xについては、HX(x)=EX(x)という いわゆる時間に依存しないシュレディンガー方程式 がでます。ですから、このHX(x)=EX(x)の解X(x)は 普段量子力学で解いている、固有関数です。 その解にはかならずe^-iEt/h≡e^-iωtをかけるという ことだから、固有状態については完全にtとxで変数分離されています。 例えば固定端条件の解2/√Lsinkxにe^-iωtをかけると 2/√Lsinkx・e^-iωt=2/√L(e^ikx-e^-ikx)/2i・e^-iωt =2/2i√L・{e^ikx-iωtーe^-ikx-iωt}となります。 この式の第一項；e^ikx-iωt=e^i(kx-ωt)を見ると、その位相kx-ωt=α(一定)とすると、tが増えるにしたがってxも増えなければなりません：e^iαという『複素数』 がxの正方向に伝わっていくことになります。 第二項：e^-ikx-iωtについてみると、その位相 -kx-ωt=β(一定)とすると、tの増加にしたがって、 xは減らなければなりません：e^iβという『複素数』 がxの負の方向に伝わっていくことになります。 これら二つの逆向きの波を見て、固定端では定常波 だといってるのでしょうか。周期境界条件では 第一項しかないから、一方向にしかすすまない進行波 といってるのではないでしょうか。 sin(kx-ωt)は、普通に考えると進行波ですが、 量子力学では仰るように解として存在しないから 考えようがありません。固定端条件の解と似てますが sin(kx-ωt)={e^i(kx-ωt)-e^-i(kx-ωt)}/2i となり、e^iωtがかかっている項が出てくるので、 固有解ではないし、固有解の重ねあわせでもありません。 くり返しになりますが、量子力学では波として複素数 が現れても、実数部も虚数部も関係なく、そのまま 扱う必要があります。 xとyという平面で、tにしたがって動く波動関数は 本来図示できないですが、やはり複素数の伝達 する波ということはいえると思います。 だから、量子力学では『e^i(kx-ωt)そのもの』が進行波といえると思います。 もっというと、一番初めのご質問にある "右向きをCexp(iwt-ikx)、左向きをDexp(iwt+ikx)" という波動関数は修正する必要があり 右向きCexp(iwt-ikx)、左向きをDexp-iwt-ikx とするべきかと思います。 また、固有解の重ね合わせである一般の波動関数については、変数分離になりません： u1(x)e^-iE1t/h＋u2(x)e^-iE2t/h＋...はEが 同じでないからくくれません。だから、一般の 波動関数については変数分離でないから、 波は進行するのでなく『分散する』ことになるかと 思います。広がっていくのです。もちろん複素数の値 の分散です。ですから、変数分離か否かというkyongsokさんの初めのご質問の意図は、固有関数か 固有関数の重ね合わせの一般の波動関数か、という ことと置きかえれると思います。 最後に、進行波と存在確率一定のつながりということですが、もうおわかりのように量子力学では e^i(kx-ωt)を進行波と位置づけているといっていい と思います。ですから、その絶対値は空間の全ての 点で1であり、運動量固有関数の不確定性と合致します。
お礼
ありがとうございます、周期境界条件に関してはもっと調べてみようと思います。 おおむね理解できました！複素数の波の伝達もイメージできます！ そうですよね、必ずe^-iωtがくくりだせなきゃいけないしX(x)も固有関数じゃないといけないんですよね。 ＞これら二つの逆向きの波を見て、固定端では定常波 だといってるのでしょうか。周期境界条件では 第一項しかないから、一方向にしかすすまない進行波 といってるのではないでしょうか。 の部分が理解できません汗 周期境界条件で第一項しかない、とは？
念のため運動量固有関数がe^ikxという形になる、ということの 導出が知りたいという意味の疑問ならば これは簡単です。 h/id/dxψ=pψという運動量演算子についての固有値 方程式を解くだけです： dψ/ψ=i/hpdx∴logψ=i/hpx∴ψ=e^ipx/h=e^ikx(p≡hk)
補足
あ、運動量固有関数の導出は理解しています。 下の補足の疑問の意味が全然わからなかったということですよね？ わかりづらい文章ですみません汗 余計な手間をおかけしてしまいました汗 何といえばいいのか…まず周期的境界条件が現実的にどんな系を表しているのか、を知りたいです。周期的境界条件を考えるにいたった物理的考察の経緯が知りたい、といってもいいですが。現実の系でなぜそんな条件を考えるにいたったのかわかりません。 そして、「進行波」と「存在確率一定」が頭の中で論理的につながりません。「運動量固有関数＝存在確率一定」は今までの話でつながったのですが。というかまず、量子力学での「進行波」というもののしっかりした定義がわからないのでつなげようがないというのが正しいです。 (kx-wt)の形で入ってれば進行波だ、とばかり思ってましたが、下で言ったようにsin(kx-wt)もシュレーディンガー方程式の元の形：HΦ＝ih(d/dt)Φを考えれば右辺が時間微分によってcosとなって満足しませんよね？ 長々とすみません、よろしくお願いしますm(_ _)m
周期的境界条件では、粒子が境界x=Lまで行くと x=0まで戻ります。１次元のリングに例えられもしますが、このとき粒子は進みっぱなしです。逆に進むことはありません。ですから、粒子は進行波になります。 また粒子がどこか特別の位置にいる確率が高くなるということはないはずです、それが確率一定となって 反映されてるのでしょう。 運動量の固有関数と進行波の関係、ということですが 運動量の固有関数:e^ikxは、固有値方程式、 h/id/dxe^ikx=pe^ikxにより,p=hkですが、粒子が e^ikxという状態をとっているときに粒子が運動量 hkをとる確率は100％です。つまり運動量の値 が確定されてますが、このとき不確定性原理により 位置の揺らぎは∞です：ΔxΔp≧h/2、Δp=0 位置の揺らぎが∞というのは、言い換えれば粒子の 存在確率がどこでも一定ということです。 だから運動量の固有関数は進行波となるのではない でしょうか
お礼
＞周期的境界条件では、粒子が境界x=Lまで行くと x=0まで戻ります。１次元のリングに例えられもしますが、このとき粒子は進みっぱなしです。逆に進むことはありません。ですから、粒子は進行波になります。 この周期境界条件というものは極めて人為的なものではありませんか？リングを回る、といわれても納得できませんよね。境界条件が問題にならないような系（たとえば金属物質中心部の電子）に適当な境界条件を与えるために計算しやすい境界条件を与えたんだ、そんな人為的なものだと習ったような気がします。 なるほど、「運動量の固有関数」と「存在確率一定」の間の関係はとてもわかりやすいです！ ですが、どうしてもこの二つは「進行波」という概念には結びつかないような気がするのですが… ちなみにsin(kx-wt)も進行波じゃないか！とも思ったのですが… でもシュレーディンガー方程式がHΦ＝EΦになるためにはsin(kx-wt)じゃだめですよね、e^-iwtがくくりだせるΦじゃないと。時間微分でEが出てこないと。
<<sinが周期的境界条件を満足しない、ですか？周期関数なんだから明らかに満足しませんか？ sin関数は境界で0をとるから、普通は固定端境界条件にのみ使います。直観的に、sinかcosだと、どこでも 存在確率一定とはなりません。 周期的境界条件の場合をsinとcosで現すとすれば、シュレディンガー方程式は自由粒子で(以下h をhバーとします) (-h^2/2m)d^2ψ/dx^2=Eψ その解は CとDを複素定数としてψ=Csinkx＋Dcoskxとおけます。 k=√2mE/h それで、周期境界条件を代入すると ψ(0)=ψ(L)より D=CsinkL＋DcoskL よってkL=2nπ よってk=2nπ/L よってψ=Csin2nπx/L＋Dcos2nπx/L 規格化条件により、(｜C｜＾2＋｜D｜^2)/2=1 これを満たすCとDを決める必要があり、 これでC=i/√L,D=1/√Lとおいたものが 結局ψ=1/√L{coskx＋isinkx}=1/√Le^ikxとなります。 この解よりほかに、数学的かつ物理的に解になりうるものがあるのかは知りません。 トンネル効果については、井戸の中ではsinやcos になっていて、井戸の外でexpの減衰関数です。 散乱問題については、散乱前の入射方向では e^ikxだったと思います。
お礼
丁寧なご回答ありがとうございます。sky_fireさんのご回答に毎回はっとさせられています。 ψ=Csinkx＋Dcoskxが一般的な解で、その中に1/√Le^ikxが含まれているということですよね。理解が深まりました。 存在確率が違う＝C,Dのとり方によって|ψ|^2が山と谷を持ったり、一定になったりするわけですよね。C,Dが実数ならこの二つの定数の取り方で定常波の位相が変わる、といった所なんでしょうが、複素数だとまた理解が難しいです… [存在確率一定]が進行波としての性質を規定する何かのキーポイントなんでしょうか。
補足
またまた補足です、思い出したことを書きます。 1/√Le^ikxの意義は運動量演算子の固有関数になるということだったと思います。[存在確率一定]という並進対称性より、運動量が量子数になるのだったと。 思い出したのはここらへんまでなんですが(汗） 「運動量演算子の固有関数」と「進行波」との間にどんな関連があるのか、いまだに把握しきれていません…
<<Reをとって分離してれば定常波、が一番わかりやすい定義のように思われます。いかがでしょう？ その通りだと思います。ですから、ご質問の場合は やはりC=Dのときが定常波になるでしょう。 量子力学と電磁気学等に現れるe^i(kx-ωｔ)の違い についてですが、まず電磁気学で電磁波を表す場合、 本来、電解成分でも磁界成分でも、sinかcosであらわさなければなりません。e^i(kx-ωｔ)を用いるのは、 そうすると計算が楽だからです。電磁気では、 回転(rot)や発散(div)など、電磁波成分を微分する 場合が多々現れるのはマクスウェル方程式を見ても 明らかです。sinやcosで電磁波をあらわすと、 いちいち微分するたびsinとcosがひっくり返ったり -がついたりして面倒です。 これを、e^i(kx-ωｔ)として、微分を行うと expの微分なのでかなり簡略されます。計算の最後で 電界を始めにEcos(kx-ωｔ)とおいたら、あとで 複素数の実数部を取ればよいのです。例を挙げましょう、Ecos(kx-ωｔ)をxについて偏微分したものは -Eksin(kx-ωｔ)です。一方、e^i(kx-ωｔ)をxについて 偏微分したものはike^i(kx-ωｔ),この実数部は Re[Eik{cos(kx-ωｔ)＋isin(kx-ωｔ)}]=-kEsin(kx-ωｔ) となり両者は一致します。 次に量子力学のe^i(kx-ωｔ)についてです。 これは、一次元の周期境界条件の解として得られます。便法でなく、仰るように本質的に複素数の解に なっております。周期境界条件はsin波では満たされないからです。 シュレディンガー方程式に複素数がでてくるのは、 E=hνとp=h/λ,E=p^2/2mを満たすようなドブロイ波が得られるには、複素数を含んだ、波動方程式ではなく拡散方程式(tについて一回微分)でなければならないという必然的要請によるもので、必然的に複素数が現れます。 ですが、この複素数の波というものは、観測など されません。電子波の干渉の有名な実験がありますが あれは、一個一個の電子を2つのスリットを通して スクリーンにぶつけた結果の干渉模様であり、1個の電子が波になっているという図ではありません。つまり 何回も電子をぶつけたら、確率によってそういう 模様ができてきたと言う話です。一個の電子そのもののドブロイ波の観測結果ではありません。しかも、 その確率密度波は｜ψ｜^2で表されます。つまり、 複素数の入ってくる余地がないのです。解として 確かに複素数が得られますが、観測にはかからない ということです。ですから、e^i(kx-ωｔ)として 進行波といったりしますが、絶対値をとれば1になるから、本来進行波に進んでいるという描像はありません。どこにも均等に分布している、というだけです。 量子力学におけるe^i(kx-ωｔ)は、別にこれから 実数部や虚数部を取るわけではないから、進行する というわけではありません。固定端条件の解が √2/Lsinnπx/Lとなって、これがいかにも実物の弦の 振動と似ているから、それを定常波と呼んで、それと 対比して周期境界条件の解を進行波と呼んでるだけ かもしれません。長文になりました、すいません。
補足
sinが周期的境界条件を満足しない、ですか？周期関数なんだから明らかに満足しませんか？ 確かにe^i(kx-ωｔ)は複素平面上で時間的に回転しているだけであって存在確率は平坦ですね…聞いたことはあったのですが、完璧に波のイメージだけが先行してました。はっとさせられました。 しかし、入射波、透過波、反射波を考える問題(トンネル効果、散乱など)ではいつもe^i(kx-ωｔ)を進行波として扱っていますし、そのせいで自分もそんなイメージをもったのですが、これはsin,cosでも問題は解けるんでしょうか？e^i(kx-ωｔ)じゃなきゃいけないんでしょうか？
♯2です。 確かにe^iωtでくくれば、Reをとっても変数分離の 形にはなりますね。Reをとる以前に、 Cexp(iwt-ikx)とDexp(iwt+ikx)を足したものは C≠Dでも、変数分離になりe^iωｔ(Ce^-ikx＋De^ikx) ですね。この式の意味は、『Ce^-ikx＋De^ikx という、位置xにより指定されるある複素面X』 上の、その一つ一つの点が一様にe^iωtで複素平面上 をぐるぐる回っている、ということでしょうか。 e^iωtという因子をかけても、絶対値は変わらず 複素平面で偏角のみ角速度ωで変わると思います。 ですから、『位置xで指定される複素数が一様に角速度ωで定常的に変化する』ということはいえると思います。 ただ、例えばe^i(kx-ωt)という一般に進行波といわれる波も、変数分離すればe^ikx・e^-iωtとなるので これも定常的ということになるから、要は波というものを複素数全体で考えるのか、最終的に実数部の関数か虚数部の関数を考えるのか、で定常波の定義も変わってくると思われます。
お礼
>ただ、例えばe^i(kx-ωt)という一般に進行波といわれる波も、変数分離すればe^ikx・e^-iωtとなるので これも定常的ということになるから、要は波というものを複素数全体で考えるのか、最終的に実数部の関数か虚数部の関数を考えるのか、で定常波の定義も変わってくると思われます。 そうか、気づきませんでした！ 複素数で掛け算した後にRe「」をとるのと掛け算する前にとるのでは確かに値が違いますね。 Z1＝α＋βi,Z2＝γ＋δiとして Re「Z1＊Z2」＝αγーβδですもんね。 掛け算した後Reをとるのが正解ですね。 Reをとって分離してれば定常波、が一番わかりやすい定義のように思われます。いかがでしょう？
補足
お礼書きましたが、補足します。 回路の問題では解の形がe^-iωtのみで、複素数×複素数という状況がなかったので波を複素数表示しても今考えているような問題はなかったのでしょうが、量子力学では、何か回路の問題のように簡単な理由での『波の複素数表示」ではなく、本質的な問題のような感覚があります、あくまで感覚ですが汗 シュレーディンガー方程式にも虚数iは入っていますし、演算子もiが入ってますよね。 やっぱり前提である「もっとも一般的な進行波はe^i(kx-ωt)である」というところの意味をしっかり把握しないといけないんじゃないかという気がしてきました。
- imoriimori
- ベストアンサー率54% (309/570)
＃１です。そうですね、「C≠Dでも分離されて」のミスタイプなんですね。了解。 ということで全て#2様の回答で済みとなりますので、以下蛇足となりますが。 質問者様は正弦波等を指数関数表現するときの約束事「実数部か虚数部どちらかで議論し、計算結果も実数部か虚数部かどちらかが本当の答えである。指数関数表現は計算のための便法である。」ということをお忘れになっていた、ということかと思います。これについては以下URLなどもご参考になるかと。
補足
あ、それは記憶の片隅には残っておりました汗 実部と虚部は１次の式では混じらないことを利用して微分方程式を楽に解く、というものだったと記憶しております。 自分は今量子力学でこの問題にぶちあたりまして汗 なので複素数としての波動関数の深い意味までわかりたいなと思っております。
C≠Dでも分離されて定常波になる、の間違いでは ないかと思います。 確かに、e^iωｔでくくれば、C≠Dでも分離されますね。e^iωｔ(Ce^-ikx＋De^ikx) 確かに、例えばAcoskx・sinωｔなどと分離されてれば 空間の各点xが同位相で振動してることになるから定常波といえると思います。 ですが、複素数の場合どうかというと、例え分離されていても、定常波になるかどうか疑問です。 では、逆にAcoskx・sinωｔと言う式を複素数であらわ してみると(オイラーの式を使います) A(e^ikx＋e^-ikx)/2・(e^iωｔ-e^-iωｔ)/2i =A/4i・{e^i(kx＋ωｔ)-e^i(kx-ωｔ)＋e^-i(kx-ωｔ) -e^-i(kx＋ωｔ)}という4つの項の和が定常波という ことになります。 複素数の波といっても、量子力学以外では便法であり 結局最後は虚数部か実数部をとりますから、 定常波か否かは、実数部か虚数部で判断すべき と思います。C≠Dのとき、仮に実数部をとると Re[Ce^i(ωｔ-kx)＋De^i(ωｔ＋kx)] =Ccos(ωｔ-kx)＋Dcos(ωｔ＋kx)となって 定常波となりません。
補足
ミスタイプを的確に修正していただき回答までありがとうございます！ 確かに４つの項の和ですけれども、最後のCe^i(ωｔ-kx)＋De^i(ωｔ＋kx)はe^iωｔでくくった後にRe[]を見たら定常波じゃありませんか？ 結局のところ、「波の最小単位」というか、一番基本的な波はe^iωｔ、e^-iωｔだと理解してもいいんでしょうか？ 昔からsin,cosで慣れてきましたが、sin,cosもe^iωｔ、e^-iωｔの線形和で書けるんですし。
- imoriimori
- ベストアンサー率54% (309/570)
「Asin(wt-kx),Bsin(wt+kx)で定在波を作ろうとするときは、振幅AとBが一致していないと定在波はできないですよね？」→ですね。 「Cexp(iwt-ikx)、左向きをDexp(iwt+ikx)と表すとC=Dでもtとxは分離されて定在波になりますよね？」→C=D「でも」、というのがわかりませんが、C=D「なら」そうですね。 「形はきれいな正弦波とはならないと思いますが」→C=Dなら sin表現の時と同様のきれいな定在波になると思いますが？ 「この差をどう理解すればよいのでしょうか？」→どこに差があると言っておられるのかつかめないのですが？（差は無いと思うのですが、私が読み間違いしているのかな。。。） 「定在波の定義を「ｔの振動の部分とｘの振動の部分に分離された波動の関数」だと思っております。」→私は定義を知らないのですが、なるほどそうかなと思います。
お礼
すみません、重大な間違いを犯しました、C≠Dです汗
お礼
この説明、ドンピシャです！！！ めっちゃすっきりしました、ちなみに今かなり興奮しております！ ＞量子力学で進行波となるのは、シュレディンガー方程式を満たし、かつkx-ωtの関数となるものです。 ＞運動量の固有関数が進行波となるのは、やはり必然です。 ばっちりです！笑 分散も大丈夫です、個々の波が違うエネルギーを持つ＝違う位相速度を持つから鋭いピークの波も時間発展とともにすそ広がりになっていくんですよね。 本当に長い間お付き合いしてもらってしまいました、とっってもためになりました！10000ポイントぐらい差し上げたいキモチですm(_ _)m