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積分:弧の長さを求める問題。
siegmundの回答
まず,式が違っています. y=x^(1/3) なら dy/dx = (1/3)x^(-2/3) ですから, 曲線長の公式に代入すると (1) ∫√{1+(1/9)x^(-4/3)}dx です.x のべきに注意. 形式的にはこうですが,x<0 はこのまままではちょっとまずい(後述). 数値積分の基本は,もともとの積分の定義の 「細かく分けて,関数値×幅,の和を取る」 です. 実際のルーチン(台形公式,シンプソン,,ガウス,...)はもっと精度が出るように 工夫されていますが,基本は上のようなことです. > ∫√(1+(1/9)x^(4/3))dx, -8,8(左の-8,8は積分区間)として、 > 関数電卓に入力しましたが、エラーがでました 負の数の 4/3 乗は複素数になってしまいます. そこでエラーなのでしょう. -4/3 乗と直しておいても同じことです. > ∫√(1+(1/9)x^(4/3)), 0,8 なら問題ありませんが,上で書いたように式自体が違っています. この積分は 10.4972 で,2倍すると補足の答(20.99...)になります. (1)の修正版なら (2) ∫√(1+(1/9)x^(-4/3)), 0,8 ですが,これは積分ルーチンによってはエラーが出ます. x^(-4/3) に x=0 を代入すると無限大になってしまうからです. 関数値は発散しても,積分値はちゃんと存在します. うまく処理するルーチンもありまして,それでやれば 8.63033 で, 2倍すると補足で y を使った結果と一致します. > グラフの形に問題があると思うのですが x^(-4/3) に x=0 を代入すると無限大というのは, 原点での傾きが発散していることを意味しています. これが今の困難のグラフ的な意味です. y を独立変数と見ると,傾きはゼロですから問題はありません. 察するに,以上のような注意を体得してもらいたいための例題なのでしょう. No.1 回答へのコメント: x で表現しても y で表現しても,この積分は初等関数では表されません. つまり,ふつうに言う「積分できた」にはなりません. No.2 回答へのコメント: y で表現しても √(1 + a y^4) の形の積分ですから, 三角関数を用いても積分はできません. y^4 でなくて y^2 の形なら積分できますが.
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