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電気磁気学について

大学で電気磁気学を学んでいます。 教科書をやっていて途中までできたのですが、その先が分からない問題があったので解法のアドバイスお願いします。 問題は下記のものです↓ 「xy平面上で4直線、x=0,x=a,y=a (a>0) によって囲まれた正方形の周りに沿ってのベクトルF=(x^2 - y^2)i + 2xyj の線積分を求めよ。ただし正方形の周りを反時計回りに回るものとする。」 とりあえず、x=0,x=a,y=a (a>0) という条件からFに代入して、 F=(x^2)i を作り、線積分より ∫[0→(a,0)] (x^2)i dxi を導き出してみたのですが、ここからどうしていいか分かりません; 正方形の周りに沿っての線積分するとは、どういうことなのでしょうか? 分かる方いましたらアドバイスお願いしますm(__)m

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  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)
回答No.2

線積分の定義をよく理解して下さい。 ベクトルFの閉曲線Cでの線積分はCの線素ベクトルをdsとしたとき、∫F・dsとなります。ドット「・」は内積です。したがって、 ∫[0→(a,0)] F・ds=∫[0→(a,0)]x^2dx となります。その後は、x=aの直線に沿って(a,0)→(a,a)の部分は、 ∫[0→a]{(a^2-y^2)i+2ayj}・dyi ですね。同様に正方形を一周すればよいのです。得られたスカラーをすべて足せばいいのです。

netekun
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 dyiになる理由をよければ教えてください。 dyjなどになるときはあるのでしょうか??

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その他の回答 (3)

  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)
回答No.4

>dyiになる理由をよければ教えてください。 dyjなどになるときはあるのでしょうか?? dyjのタイプミスです。

netekun
質問者

お礼

了解しました。ありがとうございました^^

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noname#21219
noname#21219
回答No.3

♯1です すいません。オオポカをやっておりました。 ベクトルの線積分は、Aとdrをベクトルとして ∫A・drですけど これはスカラーになります。ojisan7サンの言うとおり。 ∫A・dr=∫(Axi+Ayj)・(dxi+dyj) =∫Axdx+Aydy 質問の例ではAをFとおき Fx=x^2-y^2 Fy=2xy です これを、正方形に沿って積分するだけです。 正方形の横軸に沿う積分ならdy=0,縦軸に沿う積分なら dx=0,各々の経路の時に対応する、xとyの値を FxとFyに代入します。それら4つのスカラーの総和です。

netekun
質問者

お礼

ありがとうございます、理解することが出来ました。 答えは「2a^3」になりました^^

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noname#21219
noname#21219
回答No.1

その後は、x=aの直線に沿って(a,0)→(a,a) まで線積分です。x=aをFに代入し、 ∫[(a,0)→(a,a)]{(a^2-y^2)i+2ayj}dy 同様にして(a,a)→(0,a) (0,a)→(0,0) と計算して各々得られたベクトルを全て足せばいい のです。

netekun
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 dyで積分すればいいのでしょうか? dxiやdyjなどになったりするのでしょうか?

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