電気磁気学について

質問

大学で電気磁気学を学んでいます。
教科書をやっていて途中までできたのですが、その先が分からない問題があったので解法のアドバイスお願いします。
問題は下記のものです↓

「xy平面上で4直線、x=0,x=a,y=a (a>0) によって囲まれた正方形の周りに沿ってのベクトルF=(x^2 - y^2)i + 2xyj の線積分を求めよ。ただし正方形の周りを反時計回りに回るものとする。」

とりあえず、x=0,x=a,y=a (a>0)　という条件からFに代入して、
F=(x^2)i
を作り、線積分より
∫[0→(a,0)] (x^2)i dxi
を導き出してみたのですが、ここからどうしていいか分かりません；
正方形の周りに沿っての線積分するとは、どういうことなのでしょうか？

分かる方いましたらアドバイスお願いしますm(__)m

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

線積分の定義をよく理解して下さい。
ベクトルＦの閉曲線Ｃでの線積分はＣの線素ベクトルをdsとしたとき、∫F・dsとなります。ドット「・」は内積です。したがって、
∫[0→(a,0)] F・ds＝∫[0→(a,0)]x^2dx
となります。その後は、x=aの直線に沿って(a,0)→(a,a)の部分は、
∫[0→a]{(a^2-y^2)i＋2ayj}・dyi
ですね。同様に正方形を一周すればよいのです。得られたスカラーをすべて足せばいいのです。

お礼

回答ありがとうございます。

dyiになる理由をよければ教えてください。
dyjなどになるときはあるのでしょうか？？

回答No.4

ojisan7

>dyiになる理由をよければ教えてください。
dyjなどになるときはあるのでしょうか？？

dyjのタイプミスです。

お礼

了解しました。ありがとうございました＾＾

回答No.3

noname#21219

♯1です
すいません。オオポカをやっておりました。
ベクトルの線積分は、Aとdrをベクトルとして
∫A・drですけど
これはスカラーになります。ojisan7サンの言うとおり。

∫A・dr=∫(Axi＋Ayj)・(dxi＋dyj)
=∫Axdx＋Aydy
質問の例ではAをFとおき
Fx=x^2-y^2 Fy=2xy です
これを、正方形に沿って積分するだけです。
正方形の横軸に沿う積分ならdy=0,縦軸に沿う積分なら
dx=0,各々の経路の時に対応する、xとyの値を
FxとFyに代入します。それら４つのスカラーの総和です。

お礼

ありがとうございます、理解することが出来ました。
答えは「2a^3」になりました＾＾

回答No.1

noname#21219

その後は、x=aの直線に沿って(a,0)→(a,a)
まで線積分です。x=aをFに代入し、
∫[(a,0)→(a,a)]{(a^2-y^2)i＋2ayj}dy
同様にして（a,a)→（0,a) (0,a)→(0,0)
と計算して各々得られたベクトルを全て足せばいい
のです。

お礼

回答ありがとうございます。
dyで積分すればいいのでしょうか？

dxiやdyjなどになったりするのでしょうか？