力学的エネルギーの問題

質問

はじめまして。次の問題、解答を見ましたが公式のみで全然理解できませんでした。なるべく公式を覚えないで解きたいので、加速度運動のように、図（グラフ）をかいて簡単に求めることはできないのでしょうか？

＜問題＞図のように（谷と山のような図）、点Ａを転がした質量Mkgの物体が、点Ａよりも2.5m低い位置にある点Bまで来たときの速さを求めよ。ただし、重力加速度g=9.8m/S~2とし、斜面との摩擦はない。

＜解答＞7m/s 位置エネルギーmghの減少分だけ運動エネルギー1/2mv~2が増加するので、mgh=1/2mv~2より、V=√2gh
これに、g=9.8,h=2.5を代入して、V=√49=7(m/s)となる。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

公式を覚えない方法ありますよ。
ただし、「積分」を１回使いますし、長文になります。
（しかし、一度覚えたら、なかなか忘れにくくなります。）

まず、
・自由落下したときに、高さｈだけ落ちた
・滑らかな斜面で摩擦無く滑ってｈだけ落ちた
両者で、速さや運動エネルギーは変わらないという、エネルギー保存則だけは信じて使いましょう。
（谷や山の形状を考慮して計算も出来ることは出来ますが、非常に複雑になるので、エネルギー保存則を信じましょう。）

また、
エネルギーや仕事というのは、力Ｆ（＝ｍｇ）をかけながら距離ｘを進むこと、という決まりごとなので、
ｈだけ落下するのに重力がする仕事は、
Ｆｈ＝ｍｇｈ
です。
逆に言えば、高さｈに質量ｍの物があれば、
位置エネルギー ＝ ｍｇｈ　・・・（ａ）

さて、ここからが問題ですが、

グラフを使って、直角三角形の面積を求める方法で出来るみたいなんですが、私は高校の頃、何故それで求まるかが分からず、拒絶反応を起こしてしまいました。

実は、最も簡単なのは、

微分・積分を使うこと！！！

です。

（以下、高さ方向をプラス、落下する方向をマイナスとすることに注意）

まず、
加速度「－ｇ」の等加速度運動なので
ｖ ＝ －ｇｔ　・・・（ｂ）

両辺を時間ｔで積分すれば
∫v dt ＝ －∫gt dt

速さを時間で積分したものは、進んだ距離（落下した距離）です。
何故ならば、速さとは距離を時間で微分（＝割り算）したものなので。

積分すると、このようになります。
進んだ距離　ｘ ＝ －１／２・ｇｔ^2 ＋ 積分定数

（数学で 1/2・x^2 の微分は x なので）

ここで、積分定数は何でも良いのですが、なるべく便利な積分定数を決めてしまいます。
時間ｔ＝０のとき、ｘ ＝ ｈという基準で考えると分かりやすいので、積分定数をｈにするのが良いですね。
つまり、
ｘ ＝ －１／２・ｇｔ^2 ＋ ｈ

積分は、これでもうおしまいです。あとは、単純計算のみ。

上記結果より、

ｔ^2 ＝ ２（ｈ－ｘ）／ｇ

谷まで落下した、つまり、ｘ＝０になったときの時間をＴと置けば
Ｔ^2 ＝ ２ｈ／ｇ

ところが、再び（ｂ）式より
ｖ ＝ －ｇｔ
なので、
ｈ進んだ時の速さＶは

Ｖ^2 ＝ （－ｇｔ）^2
　　＝ ｇ^2・（２ｈ／ｇ）
　　＝ ２ｇｈ

ここまでで、谷底での速さＶは計算できます。

さらに、ここで、「思いつき」で両辺にｍ／２を掛けると

１／２・ｍ・Ｖ^2 ＝ ｍｇｈ

ところが、
この式の右辺は、式（ａ）とそっくりさん。
つまり、
位置エネルギー　ｍｇｈ
は、ｈメートル落下することにより、
謎のエネルギー　１／２・ｍ・Ｖ^2
に生まれ変わるということが分かりました。

１／２・ｍ・Ｖ^2

これは、ｍとＶだけで決まる「エネルギー」なので、
「１／２・ｍ・Ｖ^2 を運動エネルギーと名付けておけばよさそうだ。」
ということが分かりました。
つまり、
「誰が何と言おうと、質量ｍ、速さｖの運動エネルギーは １／２・ｍ・ｖ^2 だ！ 俺が決めたことに逆らうな！」
という定義を独裁者が強引に決めたわけでなく、
上記のように計算をしていった結果、
「１／２・ｍ・Ｖ^2 を運動エネルギーという定義にすれば、便利そうだ。」
ということが発見されたに過ぎません。
発明ではなく、発見です。
アイザック・ニュートンは、この世に公式が無いところから自分で「公式」を作った人なので、こんなふうに考えたと思いますよ。
数学史の年表とか見ると、「微分法の発見」は、必ず書かれています。

私は、高校時代は、こんなこと全然知らなかったのですが、
・位置を時間で微分したら速さ
・速さを時間で微分したら加速度
という真理が分かったときから、霧が晴れたように、力学が分かるようになりました。
グラフで求める方法が何故正しいかも、微積分（の物理学への応用）を習ってから、やっと理解できたと記憶しています。

お礼

詳しい回答をありがとうございます。微分積分はもう忘れちゃってて解けませんが、これを見ただけでもただの英字の羅列だった公式の意味がよくわかりました！この公式で解いていこうと思います。ありがとうございました＾＾

回答No.1

shoon

グラフにするにしても、それがどの量とどの量の対応（例えばxとy）について書いたグラフで、どういう意味を持っているか述べなければいけません
またグラフにする、ということは結局関数を視覚化することですよね　なので結局数式から解くしかないんです

で、この問題の背景にあるのは力学的エネルギー保存則です　
まず位置エネルギーがなぜmghになり、運動エネルギーがなぜ1/2mv^2になるのか、教科書を読んで考えてみるのがいいと思います
キーワードは仕事と力学的エネルギーの定義と保存則です