待ち行列について

質問

待ち行列で
「ある時刻に客が到着してから、t 時間（単位時間の t 倍）以内に次の客がやって来る確率」＝１－e^(-λt)
と記されていたのですが、「１－e^(-λt)」この式はどういうふうに導き出された式なのでしょうか？
記されていたのは以下のサイトです。
http://www.geocities.jp/daylife20040717/math/sw_waitque2.html
よろしくお願いします。

回答No.1

yuntanach · ベストアンサー

まず、t時間内に到着する客の人数xの分布を
ポアソン分布で近似するというのが出発点になります。
この分布は、f(x)=(e^λt)*{(λt)^x}/x!です。

ここで、到着間隔xが時間t内である確率p(x≦t)は
1から到着間隔xが時間tより大きい確率を引くことと
同じなので、1-p(x>t)です。
この到着間隔xが時間tより大きくなる確率は、
言い換えると時間t内に客が一人も到着しない確率と
考えることができます。
到着間隔がx時間であるということは、そのx時間の
間には客が一人も来ないということなので、
これにポアソン分布を適用します。
この考えを上記のポアソン分布の式に当てはめてまとめると、
p(x≦t)=1-p(x>t)
=1-f(0)
=1-(e^λt)*{(λt)^0}/0!
=1-e^λt
が得られます。

この「到着間隔xが時間t内である確率p(x≦t)」が
ご質問のURLで説明されている
「ある時刻に客が到着してから、t 時間（単位時間の t 倍）以内に次の客がやって来る確率」
のことです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
大変わかりやすく説明していただきありがとうござました。
理解することができました。