公式

質問

a>0のとき(ｘ－α)(x-β)<0

α＝βのとき満たすべきxの範囲がなぜないのか教えてください

a<0のとき(x-α)(x-β)のときなぜx≠αのすてべの実数になるか教えてください。

回答No.5

wps_2005

#5の回答に対する補足はどれに対するものですか?
#4の回答を何回も読んで理解したのかな。
で、#4の解説にお礼を言っていて、#4の解説の中で１つだけわからない点を質問してるのかな。

だったら黙ってますけど。

お礼

（ｘ－α）^2 ≧ ０　かつ　ａ＜０
から
（ｘ－α）^2 ≦０
不等式を変えて
ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ≦ ０
と
当初の二次不等式
　　ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ＜ ０
の不等式を比較して
　ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ≠ ０
となるのでしょうか？

補足

＃４の解説を読んで２つ中１つが分かりました。

回答No.4

wps_2005

#4に対する補足を見る限り、#3や#4を読んでもまだわかっていないということなのですよね。(責めてるつもりはありません)

でしたら、ご自分では理解できたといっているところを確認してみましょう。

#4の回答に対する補足の８～９行目で
　　a>0、(2/a)>a-1
　　a-1<x<(2/a),(0<a<2)
と書いてますが(記述ミスは直しました)、なぜ
a-1<x<(2/a)
になるのか、あなたの理解を書いてみませんか。

ここがきちんと理解できているかどうかで、α=βのときの説明をどのレベルからしなきゃいけないのかが変わってきますので。

補足

解説どうもありがとうございました。
何回も読んで理解しました。
しかし、１つ分からない事があるのですが質問してもよいですか？
　ｘ－α）^2 ≧ ０　かつ　ａ＜０
だから，符号が変わって
　　ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ≦ ０　　　
ｍでは把握を出来たのですが
　　ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ≠ ０　　　
なぜ＝は駄目なのでしょうか？

回答No.3

quantum2000

普通は，Ｎｏ．２さんのように，グラフを考えて解くのが分かりやすいとは思いますが，
参考までに，Ｎｏ．１さんのように，式のみで示すと・・・

α＝β のとき，
　　ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ＝ ａ（ｘ－α）^2　　　（１）
ここで，ｘ－α　は実数ですから，
　　（ｘ－α）^2 ≧ ０
そして今，ａ＞０　ですから，
　　ａ（ｘ－α）^2 ≧ ０
となるので，（１）より，
　　ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ≧ ０　　　（２）

つまり，どんなｘについても，常に（２）の式が成り立っていることになるので，
当初の二次不等式
　　ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ＜ ０
を満たすｘは存在しない，という訳です．

すると次に，ａ＜０　のときは，（１）の式で，
　　（ｘ－α）^2 ≧ ０　かつ　ａ＜０
だから，
　　ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ≦ ０　　　（３）

つまり，どんなｘについても，常に（３）の式が成り立っているので，
　　ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ≠ ０　　　（４）
ならば，
当初の二次不等式
　　ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ＜ ０
は，どんなｘについても，常に成り立っていることになります．（５）

さて，（４）については，今　α＝β　ですから，
　　ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ≠ ０
　　　　　 ａ（ｘ－α）^2 ≠ ０
となるので，
　　　　　　 （ｘ－α）^2 ≠ ０
つまり，
　　　　　　　　　　　ｘ ≠ α　　　（６）
となっていればよい訳です．

まとめると，ａ＜０　のときは，（４），（５），（６）　より，
　　ｘ ≠ α　となるすべてのｘについて，
　　ａ（ｘ－α）（ｘ－β） ＜ ０
となっている！
ということです．

・・・何だかやはり，解りにくいですね！　スミマセン！・・・

補足

みなさんごめんなさい。
a(x＾2)-((a＾2)-a＋2)x＋2a-2＜0.
a≠0のとき、
a(x＾2)-((a＾2)-a＋2)x＋2a-2＝a(x-2/a){x-(a-1)}＜0.
2/a＝α、a-1＝βとすると、a(x-α)(x-β)＜0
より

a>0、(2/a)>a-1
a-1<x(2/a),(0<a<2)

a>0,(2/a)<a-1
(2/a)<x<a-1,(a>2)

a<0,(2/a)<>a-1
x<a-1,(2/a)<x,(a<-1)

a<0,(2/a)<a-1
x(2/a),a-1<x(-1<a<0)
までは理解ができたのですが

・a＞0のとき、(x-α)(x-β)＜0
α＝βのとき、満たすべきxの範囲はない。

・a＜0のとき、(x-α)(x-β)＞0
α＝βのとき、x≠αの全ての実数。

になるのが分かりません。
これは公式でしょうか？

回答No.2

wps_2005

以前のあなたの質問にちょっと答えたものですが、ここだけ抽出して質問しても、全体の理解には至らないと思いますよ。
最低でも、前の質問のURLでも示して、「ここまで教えてもらったんだけど…」と言わないと、あなたの理解に役立つ回答は得られないと思いますよ。

さて、問題全体を理解するために必要なことを書きます。
α>β, α=β, α<β のそれぞれの場合について、
y=(x-α)(x-β)のグラフを書くことです。
精緻に書く必要はありません。
・上向きか下向きか（「∪」みたいな形か「∩」みたいな形か）
・x軸と交点がないか、１点で接するか、２点で交わるか
・１点で接するなら、その点のx座標
・２点で交わるのなら、左側の交点のx座標と右側の交点のx座標
が明らかになる程度のグラフを書けばいいです。

(x-α)(x-β)<0 となるのは、グラフがx軸より下にあるxの範囲、
(x-α)(x-β)>0 となるのは、グラフがx軸より上にあるxの範囲です。
両方ともx軸上は含みません。

これで一歩進むでしょうか?

回答No.1

-ria-

aという文字が式にないので、これはαの間違いでしょうか？
だとすると、
α＝βなら、(ｘ－α)(x-β)=(x-α)^2　＞　０
となってしまい、ｘが何であろうと必ず０より大きい値になってしまうため、ｘは無し、ということになります

a<0のとき(x-α)(x-β)のとき…これは
α＜０かつ(x-α)(x-β)＜０なら…ということでしょうか？
だとすると、
x＝αのとき、x^2(x-β)<0となり、ｘが虚数でない限り、x^2は必ず正の数になるので、ｘ－β＜０を満たす数がｘということになります

…わかりにくかったらここがわからないと書いていただければ補足します；説明下手ですみません

補足

ごめんなさい。

問題は
a(x＾2)-((a＾2)-a＋2)x＋2a-2＜0.
a≠0のとき、
a(x＾2)-((a＾2)-a＋2)x＋2a-2＝a(x-2/a){x-(a-1)}＜0.
2/a＝α、a-1＝βとすると、a(x-α)(x-β)＜0

です。
数字を入れて考えていたのですが分からなくなってしまって。
本当にごめんなさい。