北海道高校入試の数学

質問

昨日入試行ってきまして自己採点してある程度は理解できたのですが、一番最後の問題だけいまだにわかりません。
解説の対角線のあたりから全く・・・
どうかわかりやすい解説お願いします

http://hbc.co.jp/nyushi/　問題と答えがあります

回答No.2

noname#16352 · ベストアンサー

図解できると手っ取り早いんですけどねぇ（苦笑）
そこがこのコミュニティーの不便なところで…。
ちょっと強引ですが、とりあえず図解します。
Ａ┌────┐Ｂ　　
　│　　　　　　　　これは円錐形を展開した扇形の部分だとして、
　│　　　　　　　　ＢＣ間は「弧」が描かれていると思って下さい。
Ｃ└

で、底面である円錐をとりあえず辺（母線）ＡＣの延長線上に置くとします。
この時、円の中心はこの延長線上にある、として想像して下さい。
→　円を仮に「（・）」と表すとしたら（・は中心）...
Ａ┌────┐Ｂ　　
　│　　　　　　　　
　│　　　　　　　　
Ｃ└
（・）　　　　　　こんなイメージ。
この状態だと、辺ＡＣと底面の直径の和がこの展開図の全長と言えますね？
ですから、計算上では 12+(3x2) です。（3 は半径なので2倍して直径に）
つまり、この状態を想定すると囲む正方形の１辺は 18 cm ということになります。

でも、どうでしょう。

この円の位置を変えると、もう少し正方形が小さくなりそうな気がしませんか？
例えば、この底面を弧ＢＣに沿って少し右に動かしたとしましょう。
この時、円は右にずれると同時に少しだけ上にも動きますよね？
つまり、この時に囲んでいる正方形の１辺の長さは先の状態より短くなった、ということ。
さらに少しだけ円を右に動かすと、同様にして正方形の１辺はより短くなります。
こうやって頭の中で動かしていくと、
ちょうど弧ＢＣのど真ん中で円が止まった時が正方形が一番小さくなることが解ります。
（だって、さらに円が右にずれると、今度は辺ＡＢ方向が右に伸びてしまいますからネ）

つまり、弧ＢＣの真ん中で、底面の円周が接している状態ですから、
言い換えると、角ＣＡＢの二等分線上に円の中心があるのと同じことになります。
では、この二等分線とは何か…。
そう、結果的にこの円錐形の展開図を囲んでいる正方形の対角線と重複することに成ります。
ですから、正方形の対角線上に円の中心が来た時が一番小さい正方形、ということです。

ここまでが（２）のお話し。

残りは計算式の方ですね。
ちょっと図を書いてみて下さい。

まずは正方形。
Ａ┌────┐Ｂ
　│　　　　│
　│　　　　│
Ｃ└────┘Ｄ
こんな感じね（対角線ＡＤを補助線で結んでおいて下さい）。

次に、扇形をハメ込みましょう。
ＡＣとＡＢは扇形の母線と重なりますので、ＢＣ間に弧を描く形になりますね。

最後に底面である円を書き込みます。
対角線ＡＤ上に円の中心が来るように、
かつ弧ＢＣと、辺ＣＤ、辺ＢＤの３つに接するように描いて下さい。

この状態が最も小さい正方形が出来上がった時の再現型になります。

さて、対角線ＡＤを長さを見てみましょう。
扇形に含まれている範囲は、結局この半径と同じですから 12cm だと解ると思います。

そのまま対角線上を見ていくと今度は底面が出てきますね？
円の中心を対角線が通っているので、弧ＢＣとの交点から円の中心までは 3cm だと解ります。

さて、最後の鬼門。
ちょっとだけ残っていますね？
長さで言えばさらに円の半径分と、もうちょびっと。
この長さが解らないと、対角線の全長を割り出せません。
では、どうするか。

円の中心から、辺ＣＤと辺ＢＤに向かって垂線を引いて下さい。
そうすると、ここに小さな正方形ができますね？
この正方形の１辺は、この底面の半径と同じになるのは解りますか？
ということは、対角線の残りの長さはこの小さな正方形の対角線の長さになります。
正方形の対角線の長さは「１辺の長さ x √2」ですから、
『１辺の長さ＝底面の半径』なので「3√2」がこの正方形の対角線長になります。

従って、円錐形の展開図を囲む正方形の長さは、
扇形の母線の長さ＋底面の半径＋小さな正方形の対角線
となるので、12+3+3√2 = 15 + 3√2 となります。
あとは正方形の１辺の長さを比率計算で割り出せば良いだけですね。

文字だけの解説なので解りにくかったかもしれません、長くなってしまったし。
解ったかなぁ…、ちょっと心配（苦笑）

お礼

おぉ！わかりましたー。kujax130さんの説明見ながら図を書いてみるともうバッチリでした！ホントありがとうございました。

回答No.1

noname#16352

試験おつかれさま！

解説の部分をいくつかに分断してみました。
どの部分から解らないか、絞ってから考えてみましょう。

正方形が最も小さくなるのは...
・扇形の半径が正方形の二辺と重なり　－（１）………理屈が解らない？
・底面の円の中心が正方形の対角線上にあるとき　－（２）………理屈が解らない？

［対角線の長さを求める計算　12+3+3√2］
・12 ってどこの数字？　－（３）
・3　ってどこの数字？　－（４）
・3√2　ってどこの数字？　－（５）

ご質問の雰囲気から見て、「何が解らないのか解らない…」という悲劇的状況（苦笑）ではなさそうなので、
上に示した中に問題点が挙っていたらそれを示して下さい。
そうすると少し解説しやすくなると思います。

補足

早速の回答ありがとうございます!!
kujax130さんので言うと（２）と（５）がわかりません。
対角線を求める計算で１２は母線、３は底面の円の半径だと思うのですが３√２がどこからやってきたのか全く・・・
また解説お願いします。