連続と無限の関係

質問

連続というのはどこか無限と関係があるように思うのですが、この質問が的外れかどうかもさることながら、どのように勉強したら良いでしょうか。

回答No.3

quantum2000 · ベストアンサー

質問者さんがどのような内容を聞きたいのか、またどのような内容を勉強をしたいのか、
はっきりとはつかめないのですが、「連続と無限」というと、例えば、

実数直線が「連続である」というのは、直感的にはその線がずっとつながっている
ということですが、この状態を、線を構成している「点」というもので考えると、
「連続である」という場合は、（少なくとも）そうした点が限りなく
「無数に」存在しないといけません。
つまり、「連続な」線には点が「無限に」存在します。

しかし、点が「無限に」並んでいれば、いつでも必ず「連続な」線になるか、
というと、そうとは限りません。

例えば、実数直線の上には、整数を表す点が「無限に」並んでいますが、
これらの点だけでは飛び飛びの状態で、もちろん「連続」にはなっていません。

次に、実数直線上の有理数（分数）を表す点を（すべて）考えると、
これらの点は「無限に」あって、しかも「ぎっしり」と詰まっています。
「整数」のように、スカスカではありません。

一般に、有理数（例えば，ａ，ｂ）を表す２つの点の間には、いつでも必ず、
別の有理数（例えば，（ａ＋ｂ）／２）を表す別な点があります。

このことから、有理数を表す２つの点の間には、いつでも必ず、
「無限に」多くの有理数を表す点が存在している！ということになります。
こういう状態を、「稠密（ちゅうみつ）」といいます。
「ぎっしりと詰まった」状態、という感じです。

しかし、これらの点だけでは、まだ「連続」ではないのです！
これらの点だけでは、まだ「べったりと詰まった」状態ではないのです。

なぜならば、例えば　√２　という無理数を考えると、これは有理数ではないので、
先ほどの「無限に」存在している点（有理数を表す点）の中には、入っていません。
このことは、先ほどの「有理数を表す点の集合」に「すき間」が存在している！
ということを表しています。
つまり、これらの点の集合は、「ぎっしり」と詰まってはいるが、「つながって」はいない、
すなわち、「べったり詰まった」状態の「連続」という状態にはなってはいない！
ということなのです。

では、「無限個の点の集合」が「連続」になるためには、
どのような条件を満たせばよいのでしょうか？
そのためには、その集合に大小関係を定義して、
例えば「デデキントの切断（公理）」とか、「ボルツァノ・ワイエルストラウスの定理」
といった条件を与える必要があるのです。

ですから、こういった関係の勉強したいというのであれば、
とりあえず上にあげた用語で検索すると、
ご自分で興味のわく内容が見つかるのではないかと思います。

なお、既にご存じの内容でしたら、済みません。

お礼

ご丁寧に教えていただき恐縮致します。言葉は知っていても理解できないという状態なので、ご説明を拝読し改めて勉強してみようと感じました。どうもありがとうございました。

回答No.2

mathman

そうですね。
解析学でいうと何れも極限の概念として結びついてきます。
最近ですが、
「無限と連続」の数学（瀬山士郎、東京図書）
という本が出ています。
もし、大学初学年であれば、面白く読めると思います。

お礼

教えていただき感謝いたします。さっそくしらべてみます。どうもありがとうございました。

回答No.1

proto

連続性も無限についても実数の性質として勉強すればいいんじゃないかと思います。
なので環・群とか解析学とかを学べばいいんじゃいないでしょうか。
大学で使うような微積の教科書ならたいてい連続性の定義は載っています。

お礼

どうもありがとうございます。探してみます。