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3.1415926535897932384626433832795028…
πの小数点以下のどこかに”１”が100億回連続で並ぶことはあるのでしょうか？私は、無限に続く数列のどこかにかは”１”が100億連続で並んでいる箇所があると思います。なぜなら、この数列が存在しているということは、存在していないということより先に証明されるからです。
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- kobold
- ベストアンサー率62% (20/32)
πに関しては分かりませんが、 「無理数のなかには任意の数列が必ず（どこかにかは）存在する」という命題は偽です No.4さんも言われているように 0.1010010001000100000…と続く数を考えます これは無理数です なぜなら、有理数なら循環小数となりますが、 明らかに循環しないからです この無理数の中には、11という数列は存在しません 同じ理屈で 「πの小数点以下のどこかに”１”が100億回連続で並ぶことはない」という命題が証明されるかもしれません すぐには思いつかないですが。
お礼
アドバイスありがとうございます。
補足
元い！ そういう超特殊なやつを考えずに、今はπについてです。質問文を再掲します。 πの小数点以下のどこかに”１”が100億回連続で並ぶことはあるのでしょうか？
- ryn
- ベストアンサー率42% (156/364)
> ”無理数のなかには任意の数列が必ず（どこかにかは）存在する”・・・(＊)です。 とすると，πの小数点以下n桁目を自然数nに対応させる考え方では 3.1415926……10100100010000100000… のようにある桁より先が1と0のみからなるのと 3.1415926……20200200020000200000… のようにある桁より先が2と0のみからなるのは両立せず 命題(＊)は偽となってしまうので， 3.1415926…1111111…101001000…202002000… のように超限順序数を考えるということになりそうです． これは自然数とは1対1に対応していません． 質問者さんの仰る「可能無限」という言葉は 自然数に対応する無限を1歩超えた無限まで含んでそうですね． 超限順序数については http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=20761 の回答No.6 に解説されています． このあたりの話は大学の集合論の教科書にのっています． あとは，数学とは別の話になりますが， 「もの・行為がないことを証明する」というのが きわめて困難なことから悪魔の証明というように呼ばれています． 悪魔の証明というキーワードで哲学(?)からのアプローチで調べられても 面白い議論が見つかるのかもしれません． 悪魔の証明は困ったもので 「幽霊がいないことを証明してください」 「あなたが殺人者でないことを証明してください」 なんてことを言われてしまうとどうしようもないわけです．
お礼
>πの小数点以下n桁目を自然数nに対応させる考え方では どんな考え方を持ってきても、(＊)を覆すことはできないでしょう？(＊)が偽であるというのは、時間的には無限時間後（T(証明が完了する時間)＞∞）にしか言えない。これは、無限を越えるという不可能な状況である。しかし、真であるというのが証明されるのは偽であることの証明完了以前（T≦∞）には証明されるでしょう。これを言いたいのです。 >あとは，数学とは別の話になりますが，「もの・行為がないことを証明する」というのがきわめて困難なことから悪魔の証明というように呼ばれています． 確かにそうですね。結局、私の考え方は悪魔の証明で考えると、ないと証明できないから「ある」と結論しろといっていることだったんですね。悪魔の証明は知りませんでしたが、これは私の嫌いな類の論法でした。そんなことを主張していたなんて・・・気づかせて下さってありがとうございます。
- ryn
- ベストアンサー率42% (156/364)
> 0.1010010001000100000・・・とは？ これはただの一例ですが， 言いたかったことの本質は > 無限に続く数列のどこかにかは”１”が100億連続で並んでいる箇所があると思います。 > なぜなら、この数列が存在しているということは、 > 存在していないということより先に証明されるからです。 この論理を数学で認めてしまうと 「πのどこかの桁から先で(1が100億桁並ぶより先に) 3.141592653589793………1010010001000100000… このように規則的な並びが存在する」 という命題も存在していないということよりも先に 証明されてしまうことになります． > しかし、そんな規則的な無理数なんてあるのでしょうか？ たくさんありますよ． 例に挙げた 0.10100… も循環していないので (分数表記できる)有理数ではありません．
お礼
>この論理を数学で認めてしまうと 「πのどこかの桁から先で(1が100億桁並ぶより先に) 3.141592653589793………1010010001000100000… このように規則的な並びが存在する」 という命題も存在していないということよりも先に 証明されてしまうことになります． 規則的な並びが先にあろうがなかろうが、可能無限である以上、無限という制限以外に依存しないので「存在しない」と断言できません。それは勿論0.10100・・・についても言えますが、何にしろ「存在する」と証明できる可能性はあっても、「存在しない」と証明できる可能性はありません。私の考えを一般化すると、”無理数のなかには任意の数列が必ず（どこかにかは）存在する”・・・(＊)です。しかし、一般な状態よりも特殊な状態のほうがわかりやすいかと思い１が100億回～としただけです。(＊)を否定することは、肯定することより難しい(不可能)といいたいのです。回答ありがとうございました。
- ryn
- ベストアンサー率42% (156/364)
> 存在が観測されないというのは、無限である以上は証明のしようが無いからです。 > よって、存在すると結論しても問題は無いように思います。 例えば， 0.10100100010000100000… のような無理数は1が連続で2個並ぶことさえないので， πの実態がわからないままで1が100億回ならぶ箇所が存在する と結論するのはまずいかもしれません． ただ，πの場合は現時点では0～9までの数字の 出現確率が大体同じようなので 私も質問者さんと同じく出てくるかもしれないとは思っていますが． 実際には，1兆2400億桁調べてやっと1が12個並んだ程度ですので， 1が100億個並ぶのを見るには…
お礼
ありがとうございます。 0.1010010001000100000・・・とは？いま、π＝3.1415926535897932384626433832795028…の中での質問ですので、そっちメインでお願いします。しかし、そんな規則的な無理数なんてあるのでしょうか？専門家の方に訊いてみますね。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
どうでしょうか。 証明は難しいかもしれませんが、まずは見積もりの意味で、「小数点以下の数字は乱数表である」として、確率を求めるのは、比較的容易かもしれませんね。 ただ、この話は、人間の両手に５本ずつ指があることによって生まれた「十進法という文化」が関係していますから、まずは２進法から始めて、順繰り、ｎ進法へ拡張するのが「美しい」と思います。
お礼
アドバイスありがとうございます。πを2進法で表せるとしたら面白そうですね。
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