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3.1415926535897932384626433832795028…
πの小数点以下のどこかに”１”が100億回連続で並ぶことはあるのでしょうか？私は、無限に続く数列のどこかにかは”１”が100億連続で並んでいる箇所があると思います。なぜなら、この数列が存在しているということは、存在していないということより先に証明されるからです。
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これは Brouwer の問題といわれるものだと思います． (L.E.J. Brouwer, 1881-1966) Brouwer をカタカナで検索する場合は ブラウエル，ブラウアーなどいろいろな表記があるので注意． Brouwer が挙げたのは 「πの10進展開の中に123456789が現れる」 という命題だったかと思いますが， これは現在では 01234567890: 小数点以下 532億1768万1704桁目から 小数点以下 1484億2564万1592桁目から 小数点以下 4617億6619万8041桁目から 小数点以下 5422億2902万2495桁目から 小数点以下 6748億3691万4243桁目から 小数点以下 7319億304万7549桁目から 小数点以下 7519億3175万4993桁目から 小数点以下 8843億2644万1338桁目から 小数点以下 1兆732億1676万6668桁目から のようにたくさん見つかっていて， 真ということで決着がつきました． あと，質問者さんの命題に近いものとしては 777777777777: 小数点以下 3682億9989万8266桁目から 999999999999: 小数点以下 8978億3131万6556桁目から 111111111111: 小数点以下 1兆410億3260万9981桁目から 888888888888: 小数点以下 1兆1413億8590万5180桁目から 666666666666: 小数点以下 1兆2215億8771万5177桁目から のようなものが見つかっているようです． (http://www.super-computing.org/index-j.html より) 余談はこれくらいにして， このような「真偽は神のみぞ知る」という命題について 論争があったことを紹介しておきます． 通常，命題は(その真偽が現在わからなくても) 少なくともそれが真か偽かのどちらかであろう というのは常識的に使われています．(排中律) ところが Brouwer は排中律さえ認めず， より純粋な論理形式で数学を構成しようという立場をとりました．(直観主義) もっとも完全に排中律を拒否してしまえば a*b = 0 から a=0 or b=0 を導くことすら出来なくなるので Brouwer のした主張は 「有限回の操作で確実に見出せるもの以外存在性を認めない」 というものでした． ただ，それでも解析学の基本定理 「実数の有限閉区間内で連続な関数は最大値を持つ」 という命題も捨て去ることになります． すると，この定理の上に構築された理論も全て崩壊します． というわけで，排中律を捨てることの犠牲の大きさを問題視した ヒルベルト(形式主義)との間で対立が起こりました． 最終的には両派の論争の問題点がゲーデルの不完全性定理によりはっきりして， 一応の決着は着いたというような流れだったかと思います． 数学史にはあまり明るくないので Brouwer，Hilbert，直観主義，形式主義 等のキーワードで調べてみてください．
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- kobold
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πに関しては分かりませんが、 「無理数のなかには任意の数列が必ず（どこかにかは）存在する」という命題は偽です No.4さんも言われているように 0.1010010001000100000…と続く数を考えます これは無理数です なぜなら、有理数なら循環小数となりますが、 明らかに循環しないからです この無理数の中には、11という数列は存在しません 同じ理屈で 「πの小数点以下のどこかに”１”が100億回連続で並ぶことはない」という命題が証明されるかもしれません すぐには思いつかないですが。
お礼
アドバイスありがとうございます。
補足
元い！ そういう超特殊なやつを考えずに、今はπについてです。質問文を再掲します。 πの小数点以下のどこかに”１”が100億回連続で並ぶことはあるのでしょうか？
- ryn
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> ”無理数のなかには任意の数列が必ず（どこかにかは）存在する”・・・(＊)です。 とすると，πの小数点以下n桁目を自然数nに対応させる考え方では 3.1415926……10100100010000100000… のようにある桁より先が1と0のみからなるのと 3.1415926……20200200020000200000… のようにある桁より先が2と0のみからなるのは両立せず 命題(＊)は偽となってしまうので， 3.1415926…1111111…101001000…202002000… のように超限順序数を考えるということになりそうです． これは自然数とは1対1に対応していません． 質問者さんの仰る「可能無限」という言葉は 自然数に対応する無限を1歩超えた無限まで含んでそうですね． 超限順序数については http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=20761 の回答No.6 に解説されています． このあたりの話は大学の集合論の教科書にのっています． あとは，数学とは別の話になりますが， 「もの・行為がないことを証明する」というのが きわめて困難なことから悪魔の証明というように呼ばれています． 悪魔の証明というキーワードで哲学(?)からのアプローチで調べられても 面白い議論が見つかるのかもしれません． 悪魔の証明は困ったもので 「幽霊がいないことを証明してください」 「あなたが殺人者でないことを証明してください」 なんてことを言われてしまうとどうしようもないわけです．
お礼
>πの小数点以下n桁目を自然数nに対応させる考え方では どんな考え方を持ってきても、(＊)を覆すことはできないでしょう？(＊)が偽であるというのは、時間的には無限時間後（T(証明が完了する時間)＞∞）にしか言えない。これは、無限を越えるという不可能な状況である。しかし、真であるというのが証明されるのは偽であることの証明完了以前（T≦∞）には証明されるでしょう。これを言いたいのです。 >あとは，数学とは別の話になりますが，「もの・行為がないことを証明する」というのがきわめて困難なことから悪魔の証明というように呼ばれています． 確かにそうですね。結局、私の考え方は悪魔の証明で考えると、ないと証明できないから「ある」と結論しろといっていることだったんですね。悪魔の証明は知りませんでしたが、これは私の嫌いな類の論法でした。そんなことを主張していたなんて・・・気づかせて下さってありがとうございます。
- ryn
- ベストアンサー率42% (156/364)
> 0.1010010001000100000・・・とは？ これはただの一例ですが， 言いたかったことの本質は > 無限に続く数列のどこかにかは”１”が100億連続で並んでいる箇所があると思います。 > なぜなら、この数列が存在しているということは、 > 存在していないということより先に証明されるからです。 この論理を数学で認めてしまうと 「πのどこかの桁から先で(1が100億桁並ぶより先に) 3.141592653589793………1010010001000100000… このように規則的な並びが存在する」 という命題も存在していないということよりも先に 証明されてしまうことになります． > しかし、そんな規則的な無理数なんてあるのでしょうか？ たくさんありますよ． 例に挙げた 0.10100… も循環していないので (分数表記できる)有理数ではありません．
お礼
>この論理を数学で認めてしまうと 「πのどこかの桁から先で(1が100億桁並ぶより先に) 3.141592653589793………1010010001000100000… このように規則的な並びが存在する」 という命題も存在していないということよりも先に 証明されてしまうことになります． 規則的な並びが先にあろうがなかろうが、可能無限である以上、無限という制限以外に依存しないので「存在しない」と断言できません。それは勿論0.10100・・・についても言えますが、何にしろ「存在する」と証明できる可能性はあっても、「存在しない」と証明できる可能性はありません。私の考えを一般化すると、”無理数のなかには任意の数列が必ず（どこかにかは）存在する”・・・(＊)です。しかし、一般な状態よりも特殊な状態のほうがわかりやすいかと思い１が100億回～としただけです。(＊)を否定することは、肯定することより難しい(不可能)といいたいのです。回答ありがとうございました。
- ryn
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> 存在が観測されないというのは、無限である以上は証明のしようが無いからです。 > よって、存在すると結論しても問題は無いように思います。 例えば， 0.10100100010000100000… のような無理数は1が連続で2個並ぶことさえないので， πの実態がわからないままで1が100億回ならぶ箇所が存在する と結論するのはまずいかもしれません． ただ，πの場合は現時点では0～9までの数字の 出現確率が大体同じようなので 私も質問者さんと同じく出てくるかもしれないとは思っていますが． 実際には，1兆2400億桁調べてやっと1が12個並んだ程度ですので， 1が100億個並ぶのを見るには…
お礼
ありがとうございます。 0.1010010001000100000・・・とは？いま、π＝3.1415926535897932384626433832795028…の中での質問ですので、そっちメインでお願いします。しかし、そんな規則的な無理数なんてあるのでしょうか？専門家の方に訊いてみますね。
- sanori
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どうでしょうか。 証明は難しいかもしれませんが、まずは見積もりの意味で、「小数点以下の数字は乱数表である」として、確率を求めるのは、比較的容易かもしれませんね。 ただ、この話は、人間の両手に５本ずつ指があることによって生まれた「十進法という文化」が関係していますから、まずは２進法から始めて、順繰り、ｎ進法へ拡張するのが「美しい」と思います。
お礼
アドバイスありがとうございます。πを2進法で表せるとしたら面白そうですね。
お礼
アドバイスありがとうございました。難しいことを沢山ご存知ですね。尊敬です。<m(__)m> 不完全性定理などいろいろ勉強してみます。 私は無理数の小数点以下は可能無限の世界だと思います。だから、１が100億回連続で続いている箇所が観測されるのは、いつの日かあったとしても、無限に調べ続けて、存在が観測されないというのは、無限である以上は証明のしようが無いからです。よって、存在すると結論しても問題は無いように思います。ε-δ論法でも、可能無限の概念で極限を説明しているので、強ち私の考えは間違いではないように思います。