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素数が無限にあることの証明

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お礼率 88% (468/530)

表題のとおりですがいったいどんな手順で導き出されるのでしょうか?(概要で結構です)
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 50% (110/216)

背理法で証明します。

素数がn個(有限個)しかないとして,その素数を
P(1),P(2),・・・P(n)とすると,

Q = P(1)P(2)・・・P(n)+1

はP(1),P(2),・・・,P(n)のいずれとも互いに素となり
ます。もしそうでないとすれば,Q-1がそのn個の素数
すべての倍数なので,P(1),P(2),・・・,P(n)すべてが
1の約数ということになってしまうからです。

Q≧2 ですから Qは必ず素因数を持つはずですが,
それはP(1),P(2),・・・,P(n)のいずれでもないので,
素数がn個ですべてとしたことに反します。
したがって,素数が有限個としたのが誤りで,
素数は無限個存在します。

ここで,Qは素数と決め付けることはできないので,
注意しましょう。
お礼コメント
reiho-fuji

お礼率 88% (468/530)

ご回答ありがとうございます。
前の方と重複しますがもっと難しい理論だと思っていたので拍子抜けしてしまいました。
投稿日時 - 2006-02-12 16:09:16

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 26% (185/696)

素数が有限個とする。その有限個の素数をすべて掛け合わせた数に1を足す。そうするとその数は、既知の素数では割れません。したがって、その数が既知の素数で素因数分解できないので、また素数となります。
お礼コメント
reiho-fuji

お礼率 88% (468/530)

ご回答ありがとうございます。
もっと難しい理論だと思っていたので拍子抜けしてしまいました。
投稿日時 - 2006-02-12 16:06:45
  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 65% (825/1256)

いまから二千年以上前にかの数学者ユークリッドによる背理法で証明されています。概要は以下の通りです。
もし素数が有限数であり、その最大素数をMとする。
そして2からMまでのすべての素数全てを掛け合わせ
それに1を加えると2×3×5・・・M+1との新たな数Nを作り出せる。
これNは明らかにMより多きい合成数で、これが素数でなければ
少なくとも存在する素数の一つで割れるだろう。だが、2から最大素数のMまでの
あるゆる素数で割ると、余りが1残る。
したがって、スタートの仮定(最大素数が存在する)が誤りであることが判明し
素数が無限であると証明される。 以上
お礼コメント
reiho-fuji

お礼率 88% (468/530)

ご回答ありがとうございます。
前の方と重複しますがもっと難しい理論だと思っていたので拍子抜けしてしまいました。
投稿日時 - 2006-02-12 16:08:54
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