• 締切済み

素数が無限にあることの証明

素数が無限にあることをどうすれば証明できますか?

みんなの回答

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.5

他にも ・∀n≧2 ∃prime ∈ (n, 2n) ・∀ε>0 ∃N ∀n≧N ∃prime ∈ (n, (1+ε)n) ・Fermat数 F_n = 2^(2^n)+1 は全て互いに素 も証明に使えます. こいつらの証明とか, これを使ってどのように「素数が無限にある」ことを示すかは「専門家」に聞けば教えてくれるんじゃないですかね.

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.4

何の「専門家」が参考にするんだろうなぁ＞#5 Π(1-1/p) = 0 は使っていいんだっけ?

  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)
回答No.3

pを任意の素数とし、p1を2^p－1の素因数の一つとする。 フェルマーの小定理から2^(p1-1)≡1（mod p1） 2^p≡1（mod p1）より、p|p1-1 よって、p＜p1 同様に、p2を2^p1－1の素因数の一つとすると、p1＜p2 この繰り返しにより、素数の無限列p＜p1＜p2＜p3＜・・・が構成できる。 （これも釣り？）

回答No.2

ユークリッドによる証明 背理法による。 素数が有限個しかないと仮定し、それらを次のようにおく。 ただし n は定数。 を考えよう。q は合成数であるか素数であるかのいずれかである。 q が合成数だとすると q は pi のいずれかを用いて積の形に表されるはずである。その一方で q は pi のいずれで割っても 1 があまり、矛盾する。 素数だとすると、これは pi のいずれとも異なるから素数が有限個しかないことに反する。

参考URL：
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
  • Ichitsubo
  • ベストアンサー率35% (479/1351)
回答No.1

素数の数は有限であることを仮定し、背理法を用いることで証明可能です。 今まで知られた素数を小さい方からp1,p2,……,pn-1,pnとします。 さて、その全てを掛け合わせた数＋１ 　p1*p2*……pn-1*pn + 1 はp1,p2,……,pn-1,pnのうちどれで割り切ることができますか？

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 有理数が可算無限であることの証明

    はじめまして。 有理数が可算無限であることを証明したいのですが、どのように証明できますでしょうか？？ よろしくお願いいたします。

  • 素数が無限個存在すること（エルデシュによる証明）

    素数が無限個存在することの証明について、 素数―wikipedia―によれば、エルデシュによる素数の逆数和の 発散性の証明は、素数が無限個存在することの証明にもなっているらしいです。 （証明において、素数が無限個存在することを用いていないため・・・？） http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0 その証明は、 背理法による。 n 番目の素数を pn とする。 素数の逆数和が収束すると仮定すると、 任意の ε > 0 に対してある自然数 N が存在して、 1/pN+1 + 1/pN+2 + 1/pN+3 + ... < ε となる。　★ いま、 ε = 1/2 としよう。任意の自然数 n に対して ・・・・・・・・ と説明されているのですが、 ★マークの部分がよくわかりません。 素数が無限個存在することを使用しているのでは！？ もし有限なら、はるかに小さいεがとれないのではないでしょうか？ どうかご教授ください。

  • 素数は無限に存在する ことの証明について

    素数が無限に存在することを証明する際に、最大の素数の存在を仮定し、そこから背理法で最大の素数までに存在する全ての素数を掛け合わせてそれに一を足したものについてそれをZとすると 1、Zが素数なら矛盾 2、Zが合成数だとすると、最大の素数までに存在する素数では割り切れないので、Zは最大の素数より大きい素数でわりきれることになりこれは矛盾である したがって、素数は無限にある という証明法がありますが、2は必要なことなのでしょうか？ 理屈として必要なのはわかりますが、 Zはそもそも素数なのではないかということです。 といいますのも、例えば小さい数で、2×3＋1＝7は素数、2×3×5＋1＝31は素数、2×3×5×7＋1＝211も素数ということを考えた時、もしかしたら小さい方の素数から連続して掛け合わせた場合には、素数に絶対になるのではないかとおもったからなのですが、そんなことはないのでしょうか？

  • 素数は無限

    質問２点。 １． 「素数は無限に存在する」証明をwikipediaで調べると、 背理法で素数が無数にあることを証明した、 素数の積に1を加えた数が素数であることを証明した」などの誤解をする者がいるが、 いずれも正しくない と書かれています。 wikipediaが常に真実とは限りませんが、 Google検索で素数の無限である証明で検索すると、上記の誤解している人による解説ばかりです。 何を（どちらを）信じればよいか分からずに困っています。 ２． wikipediaによる正しい証明によると、、、 素数の個数が有限と仮定し、p1, … pn が素数の全てとする。その積 P = p1 × … × pn に 1 を加えた数 P + 1 は、p1, …, pn のいずれでも割り切れないので、素数でなければならない。しかし、これは p1, …, pn が素数の全てであるという仮定に反する。よって、仮定が誤りであり、素数は無数に存在する。 これは、背理法による証明だと思うのですが、、、、 お手数ですが、よろしくお願いします。

  • １）4で割って3余る素数が無限にあることを示せ．

    １）4で割って3余る素数が無限にあることを示せ． ２）オイラー関数φ(n)について，以下を証明せよ． (1) pが素数のときφ(p^r )=p^r-p^(r-1). (2) ｍとｎが互いに素ならばφ(ｍｎ)=φ(ｍ)φ(ｎ)． (3) 自然数ｎに対し，φ(ｎ)=ｎ?_(p|n) (1-1/p) (積はｎを割る素数をわたる)．

  • 素数　無限

    「素数は無限にある」証明について。（たびたびすみません） 素数が有限個で n 個と仮定し 素数を P1, P2, P3, …, Pn とする P = (P1 x P2 x P3 x…x Pn) + 1 とおくと、 PはP1からPnで割り切れない　・・・理解できます。 従って、 Pは n+1 個目の新たな素数　　・・・★ここが理解できません。 Pは、１～P-1の数で割り切れないなら、素数（定義そのもの）ですが。 Pは、P1, P2, P3, …, Pn以外の合成数（素数以外の数）で割り切れる可能性もあると思います。 中学生ぐらいの証明のようですが、自分の頭の悪さに苦しんでいます。 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509

  • 有理数と無理数が無限個あること

    開区間（a,b） は無限個の有理数と無限個の無理数を含むことを証明せよ。 という問題に悩んでいます。有理数の稠密性と有理数と無理数の和が無理数になることを利用するのがヒントらしいのですが、それでもよく分かりません。どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら、解説よろしくお願いします。

  • 下記の数列は素数が無限個ですか？教えて下さい。

    ５に６を次、次プラスして 　　5．11.　17．23．29.　35．41.　47．53．59．65．71．77　　～ と言う数列を考えた時この数列は素数の数は無限個ですか？証明方法が有りましたら下げて教えて下さい。

  • 1÷無限＝0ということは数（大きさ）は幻想？

    1÷無限＝0ということは、 つまり、1の中に無限に入るのは0しかないので、1は無限の0の集まりで出来ていることになります（また、1以外のどんなに大きな数でも無限で割れば0になり例外はありません）、つまり、どんな数であっても無限で割れば、数を『構成する最小数』は0ということになります、つまり、どんな数も0が集まって（足し合わせて）出来ていることになります。 しかし、『0』はいくら足し合わせても掛け合わせても1にはなりません（大きさを持ちませんし、どんな数にもなりません）、 とすると、唯一0だけは存在しても、数（大きさ）なんてものは本当は存在しないものなのでしょうか？

  • ユークリッドの素数無限の証明を教えて

    ユークリッドの素数無限の証明で分からないところがあります。 とりあえずWikipwdiaから引用します。 素数が無数に存在することの証明 - Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%8C%E7%84%A1%E6%95%B0%E3%81%AB%E5%AD%98%E5%9C%A8%E3%81%99%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E a, b, …, k を任意に与えられた素数のリストとする。その最小公倍数 P := a × b × ⋯ × k に 1 を加えた数 P + 1 は、素数であるか、合成数かのいずれかである。素数であれば、最初のリストに含まれない素数が得られたことになる。 素数でなければ、何らかの素数 p で割り切れるが、p はやはり最初のリストに含まれない。なぜならば、リスト中の素数は P を割り切るので、P + 1 を割り切ることは不可能だからである。任意の素数のリストから、リストに含まれない新たな素数が得られるので、素数は無数に存在する。 ---- 引用ここまで ---- 前半はわかります。後半の「リスト中の素数は P を割り切るので、P + 1 を割り切ることは不可能」の部分がどうもわかりません。 「リスト中の素数は P を割り切る」のは当然ですが、だとするとなぜ「P + 1 を割り切ることは不可能」になるのかつながりませんでした。 なぜ「P + 1 を割り切ることは不可能」なのでしょうか？ この点について教えてください。 よろしくお願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する