- ベストアンサー
フーリエ級数の収束条件とは？
stomachmanの回答
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
Diniの条件、書き間違いです。 ∫|(f(x+u)+f(x-u)-c)|/u du じゃなくて ∫|(f(x+u)+f(x-u)-2c)|/u du でした。 「任意の有限区間で可積分な周期2πの関数fについて、或る正定数δ(δ<π）と或るcに対して、∫|(f(x+u)+f(x-u)-2c)|/u du （積分は0～δ）が収束するならば、fのFourier級数はxにおいてcに収束する。」 ここでcが必ずしもf(x)と一致するとは言っていません。 (1)連続の場合、f(t)についてt→x+0とt→x-0がどんなxについても存在していて、両者は一致するから、Diniの条件は2c=f(x+0)+f(x-0)=2f(x)で満たされます。 (2)有限個の点を除いて連続で有界、(3)有限個の点を除いて連続、はどうでしょうね。 例えば f(x)= (if x=0.5 then 1 else 0) という関数は(2)、(3)を満たしますけど、a.e.の意味でf(x)=0であり、こいつは元に戻りません。Diniの条件を満たすのはx=0.5に於いてはc=0ってことです。だから(2)の場合、任意のxについて、f(x+0)もしくはf(x-0)がf(x)に一致することが必要でしょう。それだったら旨く行きますね。なお、段差がある所では、有限の項を足し算しているうちはどこまで行っても元の関数に近づいてくれない、というケッタイな性質（Gibbsの現象）があります。無限項の総和を取って初めて収束する。だからもっとおとなしく収束するように総和法の方をいじってやることがあります。（発散級数論です。） (3)の場合、例えば (sin 2πx)^(-2)という関数は超関数の意味で反転可能です。フーリエ級数は（定数倍を無視して）F[n]=|n|となり、x=0においては普通の意味では総和が取れません。そしてF[0]=0ですから、反転した関数は-1/2～1/2まで積分すると0になる。これを元に戻ったと言うかどうか、微妙な所です。 こういう例は無用とお考えかもしれないけれど、Ｘ線ＣＴに使われる「投影からの再構成（reconstruction from projections）」では必須の超関数です。 どうもピント外れですいませんね。
関連するQ&A
- フーリエ級数の不連続点における収束について
こんにちわ。自分あ物理系のＢ２の学生です。 不連続関数をフーリエ級数展開した場合、フーリエ級数ては不連続点に対して,不連続点の右極限と左極限の相加平均に収束するのでしょうか。ギブス現象は聞いたことがあるのですが、収束性は保障されるのですか。 このような質問をいたしましたのはジョルダン・ルベーグの定理で、フーリエ級数の各点収束を示そうとしたのですが、不連続点での扱いが自分は説明できなかったからです。講義で扱ったジョルダン・ルベーグの定理は fが有界変動であり,|f|が１周期上積分可能で積分値が有限であるとする。このときfのxにおけるフーリエ級数Snが Sn→1/2 {f(x+0) + f(x-0)} as n→∞ というもので、連続性の条件はありません。証明上の問題点は、fが有界変動であるので φ(t) = f(x+t)+f(x-t)-f(x+0)-f(x-0) → 0 as t→0 なるφは有界変動であるから、単調増加する正値関数P,Nをもちいて φ(t) = P(t) - N(t) + φ(0) で表現される。このとき P(t) + N(t)→0 as t →0 (1) とあるのですが、xにおいてfが不連続の場合,(1)は成立しないと思う点です。
- 締切済み
- 数学・算数
- フーリエ級数教えて下さい
f(t)=(1/T)*tを[-T/2,T/2]でのフーリエ級数の式を解いていたら、 答えが(-2/π)Σ_[n=1,∞](1/n)になったんですがあってますか？ フーリエ級数がマイナスになるのかどうかよくわからないです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数の問題です。
フーリエ級数の問題です。 １．ｆは周期２πの関数で次を満たす。f(x)=０(-π<x≦0)or f(x)=x(0<x≦π) （１）ｆをフーリエ級数展開し、各点収束定理を用いて収束を調べよ。 （２）ｘ＝π/2を代入してπの値を求める級数を作れ。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数について
次の問題を解いてください。 周期2πの関数f(x)が区間-π<x≦πにおいて次のようにフーリエ級数に展開されている。 f(x)=Σ[n=1,∞]2sin(nx)/n ここで、関数g(x)が区間-π<x≦πにおいて区分的に連続で、そのフーリエ級数は g(x)=c_0/2 + Σ[n=1,∞](c_n cos(nx)+d_n sin(nx)) で表されるとき、次の二つの関係式を三角関数の直交性を用いて説明せよ。 I_1=(1/2π)∫[-π,π]f(x)g(x)dx=Σ[n=1,∞]d_n/n I_2=(1/2π)∫[-π,π]f(x)g(x+t)dx=Σ[n=1,∞](d_n cos(nt)-c_n sin(nt))/n くわしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 級数の収束に関する質問です。
級数の収束に関する質問です。 ∞ Σ 1/(log n)^n n=2 が収束する事を、 1/(log n)^n≦1/2^n を用いて証明する流れは理解しています。 解答には、 「n≧e^2+1となるすべてのnについて1/(log n)^n≦1/2^nがなりたつので・・・」 と書いてありますが、条件は 「n≧e^2」 で十分ではないでしょうか？ ヒントだけでも結構ですので、お助けください。 よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数について
次の問題を解いてください。 f(x)を区間-π≦x≦πで連続かつf(-π)=f(π)をみたし、その導関数f'(x)が区分的に連続な関数とする。f(x)が、 F(x)=a_0/2+Σ[n=1,∞](a_n cos(nx)+b_n sin(nx)) とフーリエ級数に展開されるとき、以下の問いに答えよ。 (1)f'(x)をフーリエ級数に展開したときの展開係数をa_n,b_nを用いて表せ。 (2)(1)式の右辺をxで微分し(フーリエ級数の項別微分)、これを(1)と比較せよ。 くわしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数展開についてです。 急いでます。
(1)下の図のような周期２の関数がある。これをｆ(t)=|t| (-1<t<1)とし、そのフーリエ級数展開を求めなさい。なお、フーリエ級数展開はフーリエ係数を求めそれらの係数を用いて与式を展開すること。 | ／＼ | ／＼ ＿＼／＿＿＼|／＿＿＼／＿＿＿ -1 1 (2) 上の結果を用いて、Σ 1/(2n-1)^2=(π^2)/8となることを導きなさい。 (n=1～∞) という問題を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数の質問です
f(x)=x (-π＜x≦π)のフーリエ級数を求め、その結果を用いて次の関係を示せ。 π^2/12=Σn=1から∞ (-1)^n+1 ×n^(-2)=1-1/4+1/9-1/16....... この関係の示し方がわかりません。たぶん求めたフーリエ級数を両辺を積分してx^2の形を作ってどうこうするのかなと思いますが示すところまでたどり着けないです。 どなたかよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 指数関数のべき級数について
以前にエルミート多項式に関して質問させていただいたのですが、 以下の式の導出に関して分からなく困っています。 H_n(ξ)＝(‐1)^n×exp(ξ^2)×d^n/dξ^n×exp(‐ξ^2)の時に、 e^{ξ^2-(z-ξ)^2} を、zの冪級数に展開すると、 e^{ξ^2-(z-ξ)^2}＝Σ[n=0～∞]{H_n(ξ)/(n!)}・z^nとあるのですが 詳しく教えていただけないでしょうか。 H_n(ξ)がべき級数の中でどのように出てくるかが特に分からずにいます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
私はギッブスの現象を間違って理解していて あのひげは項数が小さいうちはしぶとく残っていてなかなか取れないだけで どんどん増やしていけばなくなるだと長年思っていました あのひげはいわゆる「魔女の帽子関数」のように極限でも残っているんですね 今回読んだフーリエ級数の本で知って目から鱗が落ちました しかしこの本は収束条件が区分的にｃ１級であるということしかのっていなくて ちょっと狭すぎやしないかと思って質問してみたのです その本は 「岩波講座現代数学の基礎 実関数とｆｏｕｒｉｅｒ解析１（高橋陽一郎著）」 です ｄｉｎｉなんかも載っていて分かりやすくていい本があったら教えてください