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フーリエ級数の収束条件とは？
stomachmanの回答
- stomachman
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あらゆる点で「元の関数に戻る」ことを要求するのなら、要するに「フーリエ合成で作った関数の集合」が答でしょう。逆に言えば、想定する空間における任意の（つまりあらゆる）関数を持ってきて、フーリエ展開し、再度合成したもの（収束しないのは捨てる）を作れば、こいつは以後、フーリエ展開・合成で元に戻る。そういう完備部分空間への射影をしたことになります。でもこれじゃ酷い。 sineとcosineを直交系として選ぶ古典的Fourier級数について言うなら、Diniの判別条件： 「任意の有限区間で可積分な周期2πの関数fについて、或る正定数δ(δ<π）と或るcに対して、∫|(f(x+u)+f(x-u)-c)|/u du （積分は0～δ）が収束するならば、fのFourier級数はxにおいてcに収束する。」などがあります。（C1級関数の反転性はこの条件から直ちに出ますね。） あるいはalmost everywhereで良いのならば、たとえば、 可測関数fは、∃p(1＜p＜∞∧∫|f(x)|^p dx （積分は-π～π）が収束する)→(f(x)のFourier級数はf(x)に収束する。) p=1の場合にはもっと条件がきつくなります。 さらに、ご承知とは思いますが、フーリエ級数というのは何も古典的Fourier級数に決まったものじゃありません。想定する内積空間、直交系、総和法ごとに様々なフーリエ級数が考えられる。そういう意味での収束性・反転性の議論なら、フーリエ解析のきちんとした教科書を見た方が良いと思います。 というような話なんでしょうか？
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