n次元ベクトルの外積の定義

質問

ｎ次元ベクトルの外積の定義はどういうものなのでしょうか？
そもそもできるのでしょうか？外積は３次元特有のものでしょうか？

例えば、n次元ベクトルの内積は、例えば
(a1,a2,.....,an)・(b1,b2,.......,bn)
=a1*b1+a2*b2+......+an*bn
と定義できると思っています。

こういう感じでn次元ベクトルの外積は定義できますか？
ご教授ください。

回答No.7

oodaiko · ベストアンサー

oodaikoです。おまたせしました。

最初にお断りしておきます。一般の体Ｋ上で定義されたベクトル空間でも「テンソル」や「外積」に関する以下の話は同じように展開出来ます（いわゆる「外積代数」とか「グラスマン代数」とかいうやつ。）が、まあ話がわかりにくくなるだけだし、実用的には係数体としてＲを使うことがほとんどなので、以下ではベクトル空間と言ったら、実数体Ｒ上の有限次元ベクトル空間Ｒ^nに限定して考えることにします。（それに以下で説明する「ベクトル積」の方は一般のベクトル空間ではなくＲ^nの場合に限って定義される特殊な演算なので、その意味でもＲ^nを考える必要がある）
もう一つお断りしておきます。以下で使う「テンソル」と言う言葉は、物理での「空間のひづみ」や「応力」の表現方法といったものよりもっと数学的に抽象化された概念です。たとえば物理での「力のベクトル」と数学での「体Ｋ上のベクトル空間」くらい違うものだと思って下さい。以下で使う「テンソル」はむしろ代数的なものです。添字地獄の物理テンソルを考えるより、数学的にはすっきりした議論になります。（とはいってもけっこうややこしいが）

●概要
２つのベクトルu,vの「外積」と「ベクトル積」はＲ^3においては同一のもの（uとvに対応して決まる３次元空間のベクトル）を表しているので、物理やベクトル解析の教科書では特に２つの言葉を特に区別せずに使っているのですが、これは本来別々の概念であり、実際４次元以上の空間では異なったものを表します。
大雑把に言えば、「ベクトル積」は文字通り「ベクトル」同士の積なのですが、「外積」の方は本来「テンソル」もっと詳しく言えばその中でも特殊な「交代テンソル」同士の積として定義されているものです。従って「外積」の結果は通常は「交代テンソル」となります。
Ｒ^nの「ベクトル」も「Ｒ^n上の1階の交代テンソル」と見なせるので当然それら同士の「外積」は定義できますが、その結果は「Ｒ^n上の2階の交代テンソル」となります。ところで「Ｒ^n上のk階の交代テンソル」も自然な方法で和とスカラー倍を定義することにより、Ｒ上のベクトル空間と見なせるので「次元」が定義できます。そして一般には「Ｒ^n上の2階の交代テンソル」のベクトル空間としての次元はnより大きくなります。
３次元でも「ベクトル＝Ｒ^3上の1階の交代テンソル」の「外積」は「Ｒ^3上の2階の交代テンソル」になるのですが、「Ｒ^3上の2階の交代テンソル」はベクトル空間としてたまたま３次元になるため、３次元の場合はそれをＲ^3の「ベクトル」と同一視してしまうことが可能になるのです。そういう意味で「ベクトルの外積」は３次元の場合しか定義できない。と言ってもよいでしょう。

さて能書きが長くなりましたが「ベクトル積」と「外積」を簡単に解説してみます。

●ベクトル積
まず「ベクトル積」ですが、これはn次元ユークリッド空間のn-1個のベクトルに対して定義される「積」です。

まずＲ^nのn-1個のベクトルv_1,…,v_{n-1} に対し、Ｒ^nからＲへの写像ψを次のように定めます。
ψ(x)= det|v_1 v_2 … v_{n-1} x|　　　 (x∈Ｒ^n）
この定義でdet|v_1 v_2 … v_{n-1} x| はv_1,…,v_{n-1},xを列ベクトル（行ベクトルとしても同じですが）とする行列の行列式です。
これは明らかに線形写像なのでψはＲ^nの双対空間(Ｒ^n)^*の要素です。ところがご存知のように(Ｒ^n)^*の任意の要素はＲ^nのある要素と一対一に対応し、写像は内積で表現できますから、 Ｒ^nのあるベクトルwが存在し、任意のx∈Ｒ^nに対して
<w,x>=ψ(x)= det|v_1 v_2 … v_{n-1} x|　
と書けることになります。

この方法で、Ｒ^nのn-1個のベクトルの組｛v_1,…,v_{n-1}｝に対しＲ^nのあるベクトルwを一意的に対応させることが出来ます。そしてこのwをv_1,…,v_{n-1}の「ベクトル積」と呼び、v_1×…×v_{n-1}と書きます。
この積が線形性および交代性を持っていること、およびv_1,…,v_{n-1}のすべてに直交していることは定義からほとんど明らかですね。

３次元の場合はこの定義が普通の教科書に載っている「ベクトル積」の定義に一致することはすぐ確かめられます。４次元の場合は行列の余因子展開を使って
(a[1],a[2],a[3],a[4])×(b[1],b[2],b[3],b[4])×(c[1],c[2],c[3],c[4])＝

┌───────────┐
　　｜a[2],a[3],a[4]｜　
　－｜b[2],b[3],b[4]｜　
　　｜c[2],c[3],c[4]｜　

　　｜a[1],a[3],a[4]｜　
　　｜b[1],b[3],b[4]｜　
　　｜c[1],c[3],c[4]｜　

　　｜a[1],a[2],a[4]｜　
　－｜b[1],b[2],b[4]｜　
　　｜c[1],c[2],c[4]｜　

　　｜a[1],a[2],a[3]｜　
　　｜b[1],b[2],b[3]｜
　　｜c[1],c[2],c[3]｜
└───────────┘　　　　
となることがわかります。（横に書くとぐちゃぐちゃになるので縦ベクトルの形で書きました）

starfloraさんの回答はおそらくこれのことを言っているのだと思います。
v_1×…×v_{n-1}がv_1,…,v_{n-1}に直交すること、積の順序により右手系と左手系が定義できることについてはまさにそのとおりです。v_1×…×v_{n-1}の長さがv_1,…,v_{n-1}の張るＲ^nの「超菱形超立体」の「超面積」になっていることも多分そうだと思います。（starfloraさんは「超体積」と書いていますが、Ｒ^nでn-1個のベクトルが張る図形、つまりn-1次元の図形の測度ですから、イメージ的には「面積」と呼ぶ方が良いと思います。もちろん厳密に言うなら「n-1次元ルベーグ測度」と呼ぶべきですが）

もちろんＲ^3以外では２つのベクトルに対して「ベクトル積」を定義することは出来ません。
ところで私が今この文章を書くためのカンニングペーパーとして使っている本（『多変数解析学-古典理論への現代的アプローチ-』(M.D.スピヴァック著,斎藤正彦訳)東京図書(1972)）によれば
『普通、数学では３個以上のものの「積」を考えることは少ない。３次元のときだけ、これは２つのベクトルに対して第３のベクトルが対応することになって「積」らしくなる。この理由で、「ベクトル積」は３次元の場合に限って定義できる、と見なすことも多い』
ということなので、adeptさんの回答にある教科書の著者はおそらく「ベクトル積」のことを言っているのだと思います。
（uとvに対して、すなわち「２つの」ベクトルに対して、は３次元以外では定義されないと言っているのですから）

次は「外積」です。もうちょっとお待ち下さい。

お礼

ありがとうございます！m(_ _)m。大学時代以来、ずーっとわからなかったことがわかりつつあり、何年ぶりかの知的感激に、浸りつつあります。（数学の本を読んでもよくわからなかったし、まわりの人間に訊いてもちゃんと答えられる人がいなかった。）わかりやすい解説で本当に助かります。（数学の本もこういう風に書かれていればよいのですが。）つづきをお待ちしておりますので、何卒よろしくご指導お願い申し上げます。

回答No.5

stomachman

No.4のコメントでchukanshiさんが仰るとおり、starfloraさんの方法とsiegmund先生の方法は結局同じ事です。
例えば４次元の場合、starfloraさんの方法で
３行目を<1 0 0 0>４行目を<1 0 0 0>としたもの
３行目を<0 1 0 0>４行目を<1 0 0 0>としたもの
３行目を<0 0 1 0>４行目を<1 0 0 0>としたもの
３行目を<0 0 0 1>４行目を<1 0 0 0>としたもの
が、siegmund先生の二階テンソルの１行目の行ベクトルの成分を表しています。
同様に
３行目を<1 0 0 0>４行目を<0 1 0 0>としたもの
３行目を<0 1 0 0>４行目を<0 1 0 0>としたもの
３行目を<0 0 1 0>４行目を<0 1 0 0>としたもの
３行目を<0 0 0 1>４行目を<0 1 0 0>としたもの
がテンソルの２行目の行ベクトル、
３行目を<1 0 0 0>４行目を<0 0 1 0>としたもの
３行目を<0 1 0 0>４行目を<0 0 1 0>としたもの
３行目を<0 0 1 0>４行目を<0 0 1 0>としたもの
３行目を<0 0 0 1>４行目を<0 0 1 0>としたもの
がテンソルの3行目の行ベクトル、
３行目を<1 0 0 0>４行目を<0 0 0 1>としたもの
３行目を<0 1 0 0>４行目を<0 0 0 1>としたもの
３行目を<0 0 1 0>４行目を<0 0 0 1>としたもの
３行目を<0 0 0 1>４行目を<0 0 0 1>としたもの
がテンソルの4行目の行ベクトルです。

　同様にn次元の場合にも、(n-2)階テンソルのn^(n-2)個の要素がシステマティックに得られる（検算して確かめてはいません）。

お礼

ありがとうございます。starfloraさんが、幾何学的（＋ベクトル空間内で演算を閉じさせる）アプローチ、siegmund先生が代数的アプローチをお取りになったということで、結果的には同じことになりそうですね。

回答No.4

siegmund

昔，フェルミオン系の経路積分の勉強をしたときに，
グラスマン代数(＝外積代数？)や微分形式をちょこっとかじりました．
途中で挫折した上にもう記憶が定かでありません．

3次元ベクトル間の外積はよく知られているように
ベクトル（すなわち１階のテンソル）で，
A×B=(A[2]B[3]-A[3]B[2]，A[3]B[1]-A[1]B[3]，A[1]B[2]-A[2]B[1])
です．
A[1] はベクトル A の第１成分．
これは基本反対称テンソルεを使って
(A×B)[i]=Σε[i，p，q] A[p] B[q]
と書けます．Σはよくやるように，p，q についての和．

この方式で拡張するのだったと思います．
２次元なら，結果は０階のテンソル，すなわちスカラーで
(A×B) = A[1]B[2] - A[2]B[1]

４次元だと，結果は２階のテンソルで
(A×B)[i，j]=Σε[i，j，p，q] A[p] B[q]
で，成分表示すれば
A×B=
　　┌　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┐
　　│　0，A[4]B[3]-A[3]B[4]，A[2]B[4]-A[4]B[2]，A[3]B[2]-A[2]B[3]　│
　　│　A[3]B[4]-A[4]B[3]，0，A[4]B[1]-A[1]B[4]，A[1]B[3]-A[3]B[1]　│
　　│　A[4]B[2]-A[2]B[4]，A[1]B[4]-A[4]B[2]，0，A[2]B[1]-A[1]B[2]　│
　　│　A[2]B[3]-A[3]B[2]，A[3]B[1]-A[1]B[3]，A[1]B[2]-A[2]B[1]，0　│
　　└　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┘
のようですね(計算大丈夫かな，テンソル演算はよく間違うので)．

以下同様で，ｎ次元ベクトル同士の外積は n-2 階のテンソルです．

上の話でＯＫなら，３次元だけが特別です．
すなわち，３次元の時だけ外積演算結果がまたそのベクトル空間の要素になっています．
adept さんの引用された記述はそういう意味でしょうか．

余り自信がありません，数学のプロの方，よろしくお願いします．

お礼

ありがとうございます。そういえば、フェルミオンの経路積分でグラスマン代数なんていうのが、ありましたね。微分形式も、そのからみでありましたし。微分形式自体は、一般相対性理論を勉強したときに勉強した記憶があります。そういえば、
外積みたいなのを、基本反対称テンソル、なんかレビ＝チビタテンソルとかいうの（ε）を使って定義していました。アインシュタインの略記とかいってサンメーション略していましたっけ。（なんか思い出話になって申し訳ない。）
そうですね、このこの式を高次元に拡張すればよいわけですね。なるほど、代数的には非常に自然な感じがします。こう考えると、なるほど３次元だけが、おなじベクトル空間内で演算が閉じていることがわかりますね。このテンソルの「行」かなにかを取り出してくると、starfloraさんのベクトルになるような気がしますが。
siegmundさんの回答もよく拝見しますが、いろいろご存知で凄いですね。

回答No.3

adept

Theory and Problems of Linear Algebra (3rd) (McGrowHill)

という教科書によれば、

There is a special operation for vectors u and v in R^3 that is not defined in R^n for n!=3.

ということで、３次元以外での一般的な定義はないそうです。

お礼

ありがとうございます。「a special operation」の具体的な演算式が、そのご本でどう書かれているのか、わかるとありがたいのですが。
確かに、３次元は「特殊」という気はしますが。

回答No.2

starflora

はたしてこれが、ｎ次元空間の「外積」の定義になるのかどうか分かりませんが、三次元での外積を延長して考えてみることはできます。

　　直感的なイメージでは、ｎ次元空間のなかの独立したｎ－１個のヴェクトルが構成する「超菱形超立体」の超体積をスカラー量として、その大きさとし、ｎ－１個のヴェクトルの張る空間に独立な、つまり直交するヴェクトルで、先のスカラー量の長さを持つヴェクトル・プロダクトが、ｎ次元の外積になるのではないでしょうか。この場合、三次元のような意味の右手系とか左手系はありませんが、しかし、ｎ－１次のヴェクトルについて、外積計算プロダクトの手順で、順序付けが行えるはずで、ここから、鏡像反転によって二つの値を取るヴェクトルの二つの方向が出てきます（つまり、ｎ次元でも、右手系と左手系が定義できるのです）。どちらかを指定できるということです。

　　行列式で表現すると、わたしの記憶間違いでなければ、三次元での外積は、少し変則的な表現ですが、三次の正方行列を考え、その第一行に、ヴェクトルＡの成分を入れ、第二行に、ヴェクトルＢの成分を入れ、第三行には、独立単位ヴェクトルｉ，ｊ，ｋを入れて、これで行列式を計算すると、ｉ，ｊ成分はゼロ、そしてｋ成分が外積のスカラー量、つまりヴェクトルの大きさとなり、ｋが、そのヴェクトルの方向です。ＡとＢは、ｉ，ｊが張る空間に載る訳で、従って、Ａ，Ｂ共に、ｋに当たる第三列成分はゼロのはずです。式で書くと、Ａ（a1,a2,0），Ｂ（b1,b2,0）で、ｋヴェクトルの大きさは、（a1b2-a2b1）となります。ここで、Ａ，Ｂという風にヴェクトルを第何列にいれるかで、一意的に、ｋの正負が決まってきます。ｉ→ｊ→ｋという風に右手系が定義されます。

　　ｎ次元の場合、ｎ次の正方行列を考え、この行列式を考えるのです。第一行にヴェクトルＡ1、第二行にＡ2……と入れて行きます。単位ヴェクトルｕ(i)は、i＝ｎの時、すべての成分が、この第ｎ列でゼロになるように定義します。

　　こうすると、まさに、ヴェクトルＡ(i)の順序で、右手系か左手系が、ｎ次元で定義されます。また、ｕ(n)の上の要素つまり、第ｎ列要素が、すべてのヴェクトルでゼロであることが、まさに、それらのヴェクトルの張る空間と、単位ヴェクトルｕ(n)が独立であることを意味するので、この行列式は、ｕ(n)以外の単位ヴェクトルの成分が結果的にすべてゼロになり（なぜなら、ｎ列要素がすべてゼロなので、行列式の定義から云って、ｕ(n)以外の単位ヴェクトルの成分はゼロになるのです。また、方向付けも、Ａ(i)というヴェクトルの並べ方で、一意的に決まってきます。

　　これで、ｎ次元のヴェクトルの「外積」の定義になると思うのですが、この用語は、もっと別の数学的概念を表現するのに使われているかも知れません。

お礼

ありがとうございます。starfloraさんは、いろいろなことをご存知で凄いですね。ポイント成績いつもトップクラスですし。
starfloraさんの幾何学的なイメージは、わかりやすく、とっても気にいりました。たぶん、同じベクトル空間内で演算を閉じようとするとこうなるのでしょうね。「外積」ってやはりこういうイメージですよね。数学的には、starfloraさんのおっしゃっていることは、「純r-ベクトル」というものの特殊な場合になるようです。が、外積のイメージに近いですよね。

回答No.1

hitomura

参考URLの先頭に書かれている
「ここでは外積の応用を3次元空間に限ります．他の空間には外積のやさしい一般化がないのです． 」
を信用すると、
「３次元ベクトル空間以外でも定義できることはできる、が、非常にややこしい」
ようです。

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/sendaipub/node11.html

お礼

ありがとうございます。確かに３次元での外積をそのまま拡張はできずに、複雑になることは、覚悟しています。