- ベストアンサー
正規行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する？
motsuanの回答
- motsuan
- ベストアンサー率40% (54/135)
Ｕ・Λは思いっきり間違ってしまいました。 結果としては (0,0,...,0,1,0,...,0)がｊ番目の要素が１でそれ以外が0、Λのjj要素をΛjj、 とすると Ｕ・Λ(0,0,...,0,1,0,...,0)＝ΛjjＵ(0,0,...,0,1,0,...,0) なので最終的にはあっていたということで許してください。 証明に難があるというわけではありません。 A^*A=AA^*という関係については、nuubouさんの定義から 導出すべきもののようで、これを私は逆におもっていただけのようです。 （つまり、正規行列というのは 異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交するような行列 という定義なのではないでしょうか？ 異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交する ということは別な言い方で言えば、 行列Ａの一つの固有ベクトル|α> に直交する空間｛<β|；<β|α> = 0｝が その写像Ａに対して不変な部分空間でなければならない、 となると思います。「直交する空間」の残りの空間は１次元なので 再びＡ^*の固有ベクトルとなり同時固有ベクトルであることが必要とされると思います。 そして、「直交する空間」も結局不動点ができるから その中から固有ベクトル得られて．．． と繰り返して最終的直交する固有ベクトルの系列ができる仕組みをあたえている というような感じなのではないでしょうか？） ということで、ごちゃごちゃややこしくしてしまい申し訳ありません。 （というかあくまでもアドバイスということでご容赦下さい。） あと、縮退ですが、物理用語なのかも知れません。同じ固有値が １つ以上の固有ベクトルをもつということです。
関連するQ&A
- なぜ正規行列で対角化するの？？
アホな質問です。 対角化するとき、エルミート行列あるいは実対象行列のときはユニタリー行列Uあるいは直行行列を使って対角するような問題ばかりなのですが、なぜ、普通に任意の正則行列Pをつかって対角化しないでしょうか？ ユニタリー行列を探すには、固有ベクトル見つけたあと、グラムシュミットで正規直交基底をつくってやらんきゃならんわけですよね。単に固有ベクトルならべてつくるPより、面倒だと思うのですが？ 教科書にはそういうときはユニタリで対角化できるみたいに書いてあるんで普通の正則行列Pでも対角化自体はできんですか？ その後においてどういう利点があるんでしょうか？ 確か前どっかで聞いたことあったような・・Uが直行しているのでなんかの計算で便利なんでしたっけ？何かをわざわざ計算しなくてもいいから楽？ってどっかで見たか聞いたことあったような・・・。わかりやすく大学初学年にもわかりやすい程度でお願いします・・。m(__)m
- 締切済み
- 数学・算数
- ユニタリ行列って？？
ユニタリ行列ってなんですか？ユニタリを満たすと、量子力学や、線形代数学において、どのような意味をもつのでしょうか？行列の要素に簡単な数値を用いて説明してもらえるとうれしいです。 次の文章は、自分で調べてみたけど、いまいち意味がわからなかったことです。 複素正方行列をUとすると、そのエルミート共役がその逆数に等しいとき、ユニタリと呼ばれるんですか？ U^†＝U^(-1) （１）エルミート行列Aの対角要素は相似（ユニタリ）変換により、要約される。 D=U^†AU ここでUは列が行列Aの直交ベクトルであるユニタリ行列で、実数対角行列で、対角要素は行列Aの固有値である とありました。
- ベストアンサー
- 物理学
- 行列の固有値と固有ベクトルの証明が分かりません
（１）2×2行列Ａ＝（a b c d)の固有値は ｘ＾２－（a+d)x+(ad-bc)=0 の解で与えられることを証明せよ。 （２）（１）の行列Ａが固有値α、β（α≠β）を持つとき α、βに対する固有ベクトルをそれぞれ２×１行列（p.q) (r.s)として ２×２行列Ｐ＝（p.r.q.s) を作ると 2×２行列Ｐ-1AP=(α.0.β.0) なることを証明せよ。 という問題が分かりません。 調べてみたのですがよく分かりませんでした。 教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 固有値と固有ベクトルが既知のときの行列
３次の正方行列 A について次の条件が成り立つとする． | 1| | 0| |－1| は固有値 1 の固有ベクトルである． | 1| |－1| | 0| は固有値 －1 の固有ベクトルである． |2| |0| |1| は固有値 0 の固有ベクトルである． このとき以下の問に答えよ． (1) A を求めよ． (2) A を対角化する行列 P と対角行列 P^－1AP を求めよ． (2)は固有ベクトルをPとすれば，１次独立だからPが正則となり答えが分かるのですが，(1)をどのように出すか分かりません．ご教授お願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の固有ベクトルについて質問です
対称行列を対角化するにあたって，対称行列の固有ベクトルについて次のように教科書に記述があります． 「対称行列の異なる固有値に対する固有ベクトルは互いに直交する」 この記述によれば，異なる固有値から得られる固有ベクトルは必ず互いに直交しますが，固有値が重解となったときに同じ固有値から2つの固有ベクトルが得られる問題がありました． このとき，この得られた2つの固有ベクトルは互いに直交していないのでしょうか？ つまり，「同じ固有値から得られた固有ベクトルは絶対に直交しない」のでしょうか？ わかりにくい質問ですが，どなたか詳しい回答よろしくお願いします．
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の固有値、及び直交化問題
(1)対称行列の固有値は、なぜ実数なのですか? (2)対称行列を対角化する行列は、直交するベクトルで構成された行列に限られるのでしょうか？だとしたら、それはなぜですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の対角化時、固有ベクトルとの関係は？
線形代数の講義で、、、 「Ａ、Ｂ∈ベクトル空間Ｖ、線形変換をＴとする。 対角行列Ａ＝Ｔ(Ｂ)＝Ｐ-1 B P 」 というのは、先生の板書で なんとなくわかったのですが、 Ｔの固有ベクトルを、u1、u2、、、uN とすると、 何故 Ｐが（u1、u2、、、uN）という行列になるのか わかりません。 ご指導の程、お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 回転行列の固有ベクトルは？
１．回転行列の固有ベクトルを計算したら、 （１、-i)になってしまいました。（固有値は exp(-iθ）） これって、あってますか？ （ノルムが０というのは、おかしいのでは？） ２．回転行列Aに対応するユニタリ行列の求め方がわかりません。 恐縮ですが、計算の方法をお教え下さい。 ｑ’＝UｑU†＝Aｑ と置くのはいいでしょうか？
- ベストアンサー
- 物理学
補足
とういことは 正規行列の定義を「Ａ＾＊・Ａ＝Ａ・Ａ＾＊であるような行列Ａ」で始めたか 「異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交する行列」で始めたかの違いで 両者は同値であるということですか？ 結論が正しいとすると 正規行列Ａを対角化するユニタリ行列を求める手順は （１）Ａの固有値をすべて求める （２）求めたすべての固有値について各固有値ごとに固有空間を求める （３）求めたすべての固有空間について各固有空間ごとに正規直交基底を求める （４）求めた正規直交基底をすべて並べてユニタリ行列とする でよろしいのでしょうか？