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固有値問題

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お礼率 68% (61/89)

境界条件として、
 y(1)=0,y(ω)=0,y(ω^2)=0
があるときの
 d^3y
------ = λ^3*y
 dx^3
が解けなくて困ってます。ここでωは1以外の1の立方根のことです。
この問題はλを如何に決定するかが鍵だと思うのですがλの満たすべき方程式さえ導出できません。
よろしくおねがいします。
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回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

すぐ思いつくのは y=0という解で、確かに「境界条件」を満たしますが.....こりゃひどい。
次は3回対称の指数関数の和:
y = exp(Ax+P)+exp(Aωx+Q)
とか
y = exp(Ax+P)+exp(Aωx+Q)+exp(A(ω^2)x+R)
ですけど、境界条件を満たせるかなあ。
お礼コメント
burgess_shale

お礼率 68% (61/89)

折角の解答だったのですが・・・ また他の機会によろしくお願いします。
投稿日時 - 2000-12-21 20:28:52


  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 33% (53/157)

まず一般解を求めます。

(1)λ=0の場合
y = A*x^3 + B*x^2 + C

(2)λ≠0の場合
y = A*exp(λx) + B*exp(λωx) + C*exp(λ(ω^2)x)

と求まります。
あとは境界条件ですが、
(1)λ=0の場合
A + B + C = 0
ω^2*A + ω*B + C = 0
ω*A + ω^2*B + C = 0
より、A = B = C = 0
よって y = 0 が解
(2)λ≠0の場合
A*exp(λ) + B*exp(λω) + C*exp(λ*ω^2) = 0
A*exp(λω) + B*exp(λ*ω^2) + C*exp(λ) = 0
A*exp(λ*ω^2) + B*exp(λ) + C*exp(λω) = 0より、A = B = C = 0
よって y = 0 が解

…本当か??
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