鎖の回転（再）

質問

舌足らずの質問をしてしまったので改訂しました。

長さ50cm、重さ30gの鎖の一端を持ってくるくる回しているとメリーゴーランドのように回ります。もっと早く回すと横から見ると縄跳びを回したときのような形になることがあります。但し、静止点は下から10-15cmくらいのところにあります。おそらく遠心力による懸垂曲線ではないかと思うのですが、正しいでしょうか。放物線のようにも、サインカーブにも見えます。

同じ鎖ならば静止点はいつも同じところに位置するのでしょうか。どういう条件があるとこのようなカーブを描きながら回り始めるのでしょうか。無重力で鎖を回しても同じようなカーブが見られるのでしょうか？

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

ちょっと、考えさせて頂いたのですが、難しい問題だと思います。わたしはまだ解決していないのですが、話題を提供する意味から一言述べさせて下さい。

ただ、はっきり言えることは、懸垂線ではありません。放物線でも、サインカーブでもありません。

こんな、微分方程式が成り立ちそうですが、解けますでしょうか？

d/ds(s/tanθ)+(ω^2/g)x=0

ただし、sは曲線の長さ、tanθはdy/dxです。一見したところ非線形の微分方程式ですね。難しそうなので、途中で考えることをやめました。解ける方は解いてみて下さい。

お礼

回答ありがとうございました。残念ながら方程式は難しすぎて私には解けません。ただ、サインカーブも懸垂線も両方関係ありそうというのがわかったのだけでも嬉しいです。

回答No.3

zuyun

現象の第一近似としては、真横から見て「弦の定常波」と考えるのがよいと思います。(円運動は２方向の単振動の組み合わせですから。)　
笛と同様、上が固定端、下が自由端に相当しますので、奇数倍音が作れます。(＃２さんにケチをつけるようですが、節が１つある「縄跳び」は３倍音、節が２つだと５倍音です。)

ただし、本当の「弦の定常波」と異なり、張力が場所によって異なっています。もし下端も固定端にし、オモリなどをつければ、鎖の自重の影響が相対的に小さくなり、理想的な「弦の定常波」に近づくと思います。

鎖の描く曲線については私には分かりません。
両端とも固定すれば無重力でも弧を描くわけですが、この場合にはわりときれいな曲線になるような気がします。(それでも放物線でもサインカーブでもなさそうです。)

> どういう条件があるとこのようなカーブを描きながら回り始めるのでしょうか。

「３倍音」「５倍音」の振動を作るためには、はじめから高速度で回転させることがコツでしょう。低回転から徐々に回転数を上げると、振幅が増加し、(その結果鎖の長さを消費してしまうので、)全長が短くなる(鎖の下端が持ち上がる)だけになります。

お礼

回答ありがとうございます。

＞「３倍音」「５倍音」の振動を作るためには、はじめから高速度で回転させることがコツでしょう。低回転から徐々に回転数を上げると、振幅が増加し、(その結果鎖の長さを消費してしまうので、)全長が短くなる(鎖の下端が持ち上がる)だけになります。
これは面白い現象ですね。突然3倍振動から5倍振動にはならないんですね。実験してみたいのですが、どうも腕力が足りないです。

補足

この場をお借りして。もう少し締め切らずに回答を待とうと思います。

方程式を解いてくださる方いらしたらお願いします。また、無重力量固定ならばサインカーブでもいい気がするのですが、どうなんでしょうか。

回答No.2

SortaNerd

面白いですよね。私もよくやります。
鎖の形は重力と遠心力と鎖の張力の組み合わさった複雑な力が働いているので、簡単な式では表せないと思います。
…と書いていたらNo1さんが式を出してくれていますね。案の定難しい式で。
メリーゴーラウンド状と縄跳び状の変化は波の倍数振動と同じ原理だと考えられます。メリーゴーラウンドが基底振動、縄跳びが2倍振動です。まわす速さを速くするほど高い振動数になって、3倍振動もうまく回せば観察できます。
無重力では遠心力のみで回るので単なる円盤状になってしまいます。

お礼

回答ありがとうございました。振動の要素が大きくかかわっていることを実践してくださっている人がいてよく分かりました。挑戦したのですが、今のところもうひとつ上の振動（多分5倍振動ですね。）はまだ観察していません。