【力学の総合問題（力学的エネルギーについて）】

質問

次の問題を解いていましたが、どうしてもわからないところがあります。

半径r、質量mで変形の無視でき、厚みの極めて薄い中空球
とみなせるボールを斜方投射したところ、高さh0の最高点
を速さv0で通過した。そのときのボールは地面に平行かつ
進行方向に直交する軸のまわりに角速度ω0(>0)で回転して
いた。ボールはバウンド後高さhの最高点を速さvで通過
した。重力加速度の大きさをgとし、地面は荒いとする。
（１）バウンド後のボールの回転の角速度ω0を求めよ。
（２）ボールがバウンド時に滑ったか滑らなかったか
判定する方法を述べよ。

という問題です。摩擦があるので力学的エネルギーは
減少すると思うのですが、その減少量より保存則から
ωが求まるのでしょうか？だとしたらエネルギーの減少
量はどのようにして求まるのでしょうか。

回答No.3

Teleskope

>>　（大意）
　　　球 ：　半径r、質量m、慣性モーメントI
初期値 ：　最高点ho、速度Vo、回転ωo であった。
反跳後 ：　最高点h、　速度V、 回転ω　とする。
（１）ωを求めよ。
（２）滑りの有無の判定法を示せ。 <<

１．
　先に滑りの有無の話；
これ、完全に滑った場合は摩擦力=0ゆえエネルギ保存されちゃうんです。摩擦力=横方向の力がゼロだから回転は変化しない、ω=ωo です。当然 h=ho、V=Vo です。これが設問(2)の一つの極限ですね。

２．
>>　水平方向の運動量保存則に力積を考慮して
(2/3)mr^2ω0＝(2/3)mr^2ω + m(v-v0)
よりωを無理やり出そうとしましたが
明らかにおかしいと思って止まりました。 <<

　このままじゃVが邪魔でしょうねｗ、でも運動量が等式なはずだという着眼は正攻法です。
その前に、過去回答にも書きましたが、ボールがバウンドする垂直方向の力 Fy と 摩擦の力 Fx は、互いに直交だから 式はタテヨコ独立して書ける、という見解に同意しますか？　以下その前提で話を進めます；

この仮定では y は独立ゆえ h＝ずっとhoのまま　が結論されてしまいますよね。　残る自由度は　x と 回転　ゆえ、x方向の速度 V と 回転ω の関係を追います。床に衝突前を V,ω、衝突後をプライム付けて V',ω' と書きます。

まず横の運動量保存；
(1)　　m(V'－V)＋∫Fxdt = 0　　積分区間は床と接してる間
(2)　　I(ω'－ω)＋∫rFxdt = 0　　r・Fx はトルク
力積∫Fxdtを等置すれば直ちに
(4)　　V'－V =－(I/mr)(ω'－ω)　を得ますね。

次に横のエネルギ保存則；
ロス無しで、事後＝事前の形で書くと
　　(1/2)mV'^2＋(1/2)Iω'^2 = (1/2)mV^2＋(1/2)Iω^2
これは (a+b)(a-b)=a^2-b^2 のテクを使う定番の形ですね、
(5)　　(V'+V)(V'-V) = －(I/m)(ω'+ω)(ω'-ω)
未知数V'ω'ふたつで式ひとつゆえ、解は一意に決まらず、両辺ともにゼロな解も有り得て、
(6)　　V'= V　　　ω'=ω
これが完全に滑った場合の解であることは説明を要しませんよね。
もう一つの解は、(5)÷(4)で一次式を得ると、
　　V'－rω'=－(V－rω)
を得ます。
で、
ここからは貴方の番です、この式を「衝突前後で回転が反対になる」と解読してください。

　　V = ■Vo＋■ωo
　　ω= ■Vo＋■ωo

の式を導出しましょう。反転だから符号も大事ですよ。これが滑り無しの解です。完全滑りの場合は最初に示したので、その差異が答の候補の一つですね。しかし課題は有限の滑り損失を導入した式を求めてるのかも知れません、そのへんは質問文からは分りません。。

　この回答の補足欄に求めた V とωの式を示して見せてください。

３．
でも、実際は↓こうなんですｗ
http://accad.osu.edu/~didemoto/id750/images/01_superball.jpg
あきらかにy方向は独立してない。
課題はこの解を求めてるのでしょうか？　その場合は、上記のどこを変更すればいいでしょう、これは貴方の仕事ですね。

補足

詳しい解説ありがとうございます。
式の設定より、V=V' V0=V　であるので
V-rω=-V0+Rω0　より
V=-V0+rω+rω0
ω=(V0+V-rω0)/r　が意図する式でよろしいのでしょうか。

それともう一つ質問ですが、この場合は床による
外力が働くのでy方向に対してもエネルギー損失
が発生して、h0は減少していくと思うのですが
いかがなのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

Teleskope

↓このNo.3を参考に。（無視されてますがｗ）
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1831471
　回答教唆で削除されるのはいやなので、さきに貴方なりに式を立てて補足の欄に示してください。それに応える形なら経験上OKでしたから。
球殻のイナーシャモメントは I = (2/3)mr^2 です。

補足

ありがとうございます。自分なりに考えたのは
水平方向の運動量保存則に力積を考慮して
(2/3)mr^2ω0＝(2/3)mr^2ω + m(v-v0)
よりωを無理やり出そうとしましたが
明らかにおかしいと思って止まりました。

回答No.1

rabbit_cat

バウンド時に滑らなかったなら、エネルギーは保存されています。
最高点での
位置エネルギー ＋ 重心の運動エネルギー ＋ 回転のエネルギー
は、バウンド前後で変わらないはずです。これが(2)ですかね。
もし、バウンド時に滑ったなら、当然、エネルギーは減少します。その減少量は、バウンド時の重心と、回転の運動方程式をたてれば分かるかと。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
（１）では滑った滑らないにかかわらずに
ωの式は確定すると思うのですが、どのように
求めればいいのでしょうか。減少量はωの値
がわかってはじめて得られるのだと思うのですが・・・。