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複利の計算
【元金X万円、ｎヶ月、年利Ｄ％、月複利】 を銀行に預けておくとＮカ月後の受け取り額Ｙは Ｙ＝X{1+(Ｄ/12）}^ｎ・・・(1) で求まりますよね。 しかし Ｙ＝X（1+Ｄ）＾（n/12）・・・(2) でも求まるみたいなのですが どういうふうに考えて(2)の式を導き出してるのでしょうか？ よろしくお願いします。
- hirohiro8888
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- age_momo
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#3です。 >１年間の率は１％より高くなります。（利回りといいます） そうですか。お得なんですね。勉強になりました。 Ｙ＝X{1+（Ｐ）}^ｎ・・・・(1) Ｙ＝X（1+Ｐ）^（n/12）・・・・(2) 少し定数の表記がごちゃごちゃになっていますので数字で やってみましょう。 X＝10(万円)、D=1.2%(=0.012)とすると Y=10(1+0.012/12)^n=10×1.001^n・・・・(1) Y=10(1+0.012)^(n/12)=10{(1+0.012)^(1/12)}^n ≒10×1.00099454^n・・・・(2) どちらもほぼ同じ形になりますが、(1)は12ヶ月(1年)で 1.012066倍になり、(2)は1.012倍になります。 一年後に1.2%増やす計算なら(2)ですし、銀行計算なら(1)ということになります。
- venus_j
- ベストアンサー率50% (2/4)
少し高級な数学を持ち出してみると、X=０の近くの関数F1(X)=(1+X/12)^N,F2(X)=(1+X)^(N/12)をマクローリン展開してみると、 F1(X)=1+N*X/12+N*(N-1)X^2/(2*12^2)+・・・ F2(X)=1+(N/12)X+(N/12)(N/12-1)X^2/2+・・・ =1+N*X/12+N*(N-12)X^2/(2*12^2)+・・・ というわけで、まったく同じ関数ではないが良く似た関数ではあるようだ。 ちなみに私が株をやっていた頃は、２式を使っていたと思う。
お礼
ご回答ありがとうございます。 参考になりました。ありがとうございます。
- bon0713
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またまたNo.1です。 「年利Ｄを月利に変換」とはどういうことなのでしょう？ 月利をＰとする、ということであれば、あなたが新しく提示された(2)は明らかにおかしいですよね。ｎに12を代入すると、 Ｙ＝Ｘ(１＋Ｐ) となり、１年経っても月利ぶんしか増えないことになります。 なんか、話がややこしくなってきたような気がするのですが・・・。
- bon0713
- ベストアンサー率21% (3/14)
No.1です。 他の方のご意見を読んで、そのあと自分でも調べてみて、納得しましたので自分なりの結論を書きます。 hirohiro8888さんの質問された最初の２つの式のＤをＤ/100に置き換えたとして、 (1)が世の中で使われている月複利計算の式（No.5の方が書いておられるように、年利回りではＤ％を超えることになる） (2)は年利回りがＤ％になるように調整された計算式 ということのようですね。 ＞どういうふうに考えて(2)の式を導き出してるのでしょうか？ これについては、簡単に言うと高校数学で出てくる指数計算の法則をもとに導き出していると言えるでしょうね。 参考までに月複利計算のページを貼っておきました。
お礼
ご回答ありがとうございます。 申し訳ございません、よく見たら式と条件の設定がおかしかった様です。以下にまとめてみました。どうもすいませんでした。
補足
ご回答ありがとうございます。 考えてみると基本がＹ＝X{1+Ｄ}^ｎで 幾何平均の取り方で２の式ができることがわかりました。 お騒がせして申しわけございませんでした。
前の方へ 銀行預金などで年利１パーセント、半年複利といった場合 半年の利率は０．５パーセントで１年間の率は１％より高く なります。（利回りといいます） それが慣習です。 よって月複利なら（２）は間違いで（１）が正しいです。 （パーセントを１００で割る必要がありますが。）
お礼
ご回答ありがとうございます。 申し訳ございません、よく見たら式と条件の設定がおかしかった様です。正しくは 【元金X円、ｎヶ月、年利Ｄ、月複利】 Ｙ＝X{1+Ｄ}^ｎ Ｄを月利Ｐに変換 Ｙ＝X{1+（Ｐ）}^ｎ・・・・(1) Ｙ＝X（1+Ｐ）^（n/12）・・・・(2) 月利変換時に平均の取り方（(1)が算術平均(2)が幾何平均）でこのような２通りできてしまうんですね。 率などの平均は幾何でやるべきなのでこのような条件では(2)が正しいということで間違ってないでしょうか？ 何度も申し訳ございませでした。
- age_momo
- ベストアンサー率52% (327/622)
#3です。少し補足しておきます。 例えば分かりやすい例としてX=1,D=1.2%とします。 (1)式ですと (1+0.012/12)^12=(1+0.001)^12≒1.012066 で、年利は1.2066%ということになります。計算が合いませんね。 つまり年利を12で割って月利に変換してはいけません。月当たりでは(2)の式で (1+0.012)^(1/12)≒1.0009945 毎月0.09945%の利息がつくと思ってください。
お礼
ご回答ありがとうございます。 申し訳ございません。式の設定に問題がありました。 どうもすいませんでした。
- age_momo
- ベストアンサー率52% (327/622)
>単純に1の式を12ヶ月で割ってはいけないのでしょうか？ 試しに(1)式のnに12を代入して見てください。 これでは年利D%にならないはずですよ。 (2)なら1+D/100になっているでしょう。 だから(2)式が正しいんですよ。
- bon0713
- ベストアンサー率21% (3/14)
No.１です。そもそも、(1) の式が間違っているようですね。年利Ｄ％ということであれば、Ｄ/100として計算しなければなりません。ということで、(1)の式は、 Ｙ＝Ｘ{１+(Ｄ/1200）}^ｎ となるはずです。
お礼
ご回答ありがとうございます。 １の式はＹ＝Ｘ{１+(Ｄ/12*100）}^ｎで御座いました。申し訳御座いません。またＮカ月のところも小文字のｎでした。訂正をお詫び申し上げます。 2の式は1の式とわずかながら数値が変わってきます。単純に1の式を12ヶ月で割ってはいけないのでしょうか？
- bon0713
- ベストアンサー率21% (3/14)
(1) 、(2) の２つの式は違うのではないでしょうか。 Ｄにもｎにも１を代入してみてください。結果は全く異なります。
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