くぼみの表面積

質問

ブリネル硬さを算出するときのくぼみの表面積 πD/2(D-√D^2-d^2)てどうやって導出できるんですか？
D:圧子の直径　d：くぼみの直径

回答No.1

Teleskope · ベストアンサー

この絵をお借りしましょう。
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/image/aptri23.gif

この図は半径=１で書いてあるので、半径 D/2 の場合は 球表面の dθ の所は
　　円周長さ = 半径・dθ = (D/2)dθ　　…(1)
はち巻きの長さは
　　鉢巻き長 = 2π・半径 = 2π・(D/2)sinθ = 自分で
はち巻きの面積は
　　鉢巻面積 = 幅・長さ = 自分で　　…(3)

この面積を足し合わせれば求める面積がになります。そのためには ギザギザが無視できるように dθ が非常に小さいとします。こうすれば数学の積分と同じになります。

　　積分式 = ∫(3)式 = 係数を全部出す・∫■dθ
この積分は習ってますね、符号に注意です。
　　上式 = 係数・[■]
足す範囲は（＝積分区間）、θがゼロから「くぼみ穴の半径(d/2)」の所までですね。
後者は、もう一度図をお借りして、
図の Z 軸で、中心から sinθ と書いてある所までの長さは ピタゴラスの直角三角形の公式から、
　　その長さ = √(球の半径^2 －くぼみ穴の半径^2)
すると cosθ は
　　cosθ= (その長さ)/(斜辺の長さ) = 自分で

あとは代入するだけです。面倒がらずに。
質問があったら補足に書いてください。

お礼

回答ありがとうございました。
図を参照しながらなんとか導くことができました。