極限の問題

質問

今解いている問題で
lim(n→∞）｛Σ(k=1～m)ak^n}^1/n
(akのkは添字）という問題も解き方が分かりません。形から積分の形に持っていきたんですが、akという文字がついているし、形も変形しにくいし．．
どなたか解くヒントをください！

回答No.4

eatern27 · ベストアンサー

#1にも書きましたが、はさみうちの原理を使います。

aM^n≦Σ(k=1～m)ak^n≦bM^nとなる定数a,bが見つかれば、はさみうちが使えますよね。

a1^n,a2^n,…am^nが全て正である事と、
その最大値がM^nである事から、aを決める事ができます。
Σ(k=1～m)ak^nが、M^n以下の数をm個足している事から、bを決める事ができます。

お礼

分かりました。どうも親切にありがとうございました！感謝しています！

回答No.3

eatern27

#1です。

Σ(k=1～m)ak^n
は、nが十分大きいと、M^n程度になります。(Σ(k=1～m)ak^n/M^nが有限の値に収束する)
(例えば、a_1<Mなら、nが十分大きいとa_1^n≪M^nとなりますので、a_1^nの項が無視できる事を考えれば、直感的には明らかだと思います)

つまり、nが十分大きければ、
Σ(k=1～m)ak^n≒αM^n
と近似できるという事です。(αは正の定数)

なので、
｛Σ(k=1～m)ak^n}^1/n≒{αM^n}^(1/n)=α^(1/n)M→M(n→∞)
となると考えられそうですよね。

あとは、これを数学的に証明するだけですね。

＞最大値をMと置いても最後にMが残ってしまう気がするのですが。
答えがMになるので、仕方がありません。
Mという文字を使うのがいやならば、max{a_1,a_2,…,a_m}のように書くしかないです。

補足

返事の方遅れて申し訳ありません。考え方は分かりました。
＞あとは、これを数学的に証明するだけですね。
とはどういったことをすればよいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

endlessriver

ak>=0 としたほうがよいのでは。
lim an・bn=lim an・lim bn および
(a)^(1/n)->1 (a>0) を使います。
#1のかたの不等式を作って下さい。これがわかれば簡単。

補足

すみません。参考にして解いてみたのですが、よく分かりません。　
lim an・bn=lim an・lim bn とありますが、式の形的に積は出てこないし、

(a)^(1/n)->1 (a>0) とありますがaがn乗されているので1/n乗だけにするのは無理な気がするし。
でも問題にak≧0の条件はありました。
すみませんが、もう少し補足して教えていただけないでしょうか？

回答No.1

eatern27

|a_1|,|a_2|,・・・,|a_m|の最大値をＭとして、はさみうち。

補足

すみません。もう少し分かりやすく教えていただけませんか？最大値をMと置いても最後にMが残ってしまう気がするのですが。よろしくお願いします！