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アステロイド曲線の長さについて

半径８０ｃｍの円に内接するアステロイド曲線の長さを教えて下さい。

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  • siegmund
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回答No.1

半径 a の円に内接するアステロイドの式は (1)　　x^(2/3) + y^(2/3) = a^(3/2) です． 対称性から，第１象限(x>0，y>0)だけ考えておけば十分です． (1)を x で微分して (2)　　(2/3)x^(-1/3) + (2/3)y^(-1/3)(dy/dx) = 0 ですから (3)　　dy/dx = -(y/x)^(1/3) で， (4)　　√{1+(dy/dx)^2} = √{1+(y/x)^(2/3)} = (a/x)^(1/3) になります． 長さの公式から (5)　　L = 4 ∫(0～a) √{1+(dy/dx)^2} dx 　　　　 = 4 ∫(0～a) (a/x)^(1/3) dx = 6a が得られます． a = 80 cm なら，１周は 480 cm ということになります．

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