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log(sin)dxの積分について
x^2log(sin π(パイ)x)dx [0～1/2]の積分が上手く出来ません。 log(sin π(パイ)x)dx [0～1/2]に関しては置換積分を用いてとくことは出来たので、おそらく同じようにして置換積分を利用してとくと思うのですが・・・ どなたかよろしくお願いします。
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Mathematicaを使って定積分をしたところ 積分結果が {9Zeta(3)-(π^2)ln(4)}/(48π^2)≒-0.006044789730 と出てきました。 ここで、ln(4)は底がeの自然対数で、Zeta(3)はゼータ関数です。 ln(4)≒1.386294361 Zeta(3)≒1.202056903 です。 正しいかは確認していませんがt=sin(πx)で変数変換した後の定積分でも同じ結果が出てきましたので多分正しい気がします。 不定積分すると log(sin(πx))の真数の符号もあって、機械的な不定積分の計算では複素領域で計算することになりますが、結果は最終的には実数になりますね。 勿論、x=0～1/2の範囲でt=sin(πx)=0～1の値をとります。 x=0ではlog(sin(πx))=log(0)=-∞で定義されません。 ところがx→0+で x^2log(sin(πx)）は0×∞型になります。 lim(x→0+)x^2log(sin(πx)=...=lim(x→0+)(-3/2)(x^2){cos(πx)}^2=0 で積分の下限での極限値は存在します。 積分の上限のx=1/2では x^2log(sin(πx)）=0ですね。 0<x<1/2では log()内が0～1ですのでlog()＜0となりますので x^2log(sin(πx)）<0 となります。 つまり x=0～1/2では被積分関数は負ということですので積分値は負になりますね。 機械的に不定積分を求めれば複雑な複素積分になります。xの変域(0,1/2]を加味して丁寧に計算してやれば実数領域の関数で表されるかと思いますが計算が複雑ですので行ってみてはいません。
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何故か＃２と＃３です。間違ってました。ごめんなさい。
＃１さんの言われるように部分積分を使っていくとできると思います。 もとの式 = -1/π∫x^2（cosπx)’dx として部分積分の公式を使って次数を減らし、でてきた項の中で ∫x(cosπx）dxを1/π∫x（sinπx)’dxと置き換えてさらに次数を減らせばいいと思います。
＃１さんの言われるように部分積分を使っていくとできると思います。 もとの式 = -1/π∫x^2（cosπx)’dx として部分積分の公式を使って次数を減らし、でてきた項の中で ∫x(cosπx）dxを-1/π∫x（sinπx)’dxと置き換えてさらに次数を減らせばいいと思います。
お礼
お礼が遅れて申し訳ありません。 私もそう思いといてみました。 正しいかどうか自信がないのですが。。。 ありがとうございました。
- lj020556
- ベストアンサー率36% (8/22)
ふと見て思っただけなんですが。 与式の形をみて「部分積分法」ではないかと思ったんですが…。 違っていたらすいません。なにせ、数学離れて久しいものですから…。 自分も気になりますので、的確なアドバイスしてくれる方を待ちます。
お礼
お礼が遅れて申し訳ありません。 私もそう思い一応といてみたのですが… あってるのかどうかがわからなかったので… とりあえずありがとうございます
お礼
お礼が遅れて申し訳ありません。 ずいぶん前ですが、自分でも置換積分を用いてといてみました。oyaoyaさんがおっしゃるようにそのときも結果の値が負になったように思います。 Zeta関数とかは自分はわからないのですが、Mathematicaの結果でも負になったということなら私の求めた答えも正しいかもしれません。 ありがとうございました。