外心のベクトル

質問

外心のベクトルを求めたいのですが、いくら試行錯誤してもできないんです
外心ということから
三角形ABC　の外心を　O　とすると
AO＝BO＝CO
でさらに　外心O からそれぞれの辺におろす垂線は　辺を二等分しますよね?
それを考えて　直交する線の内積はOということなど　いろいろ考えてみましたがわかりません!

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

三角形ＡＢＣにおいて、ベクトルＣＡをa、ベクトルＣＢをbとします。また、ＣＡの中点から外心Ｏに向かうベクトルをｓとします。すると、ベクトルa,b,sの間に成り立つ関係式は、
(a,s)＝0 ・・・（１）
(b,(a/2 +s- b/2))＝0　・・・（２）
となります。
最終的に求める外心ベクトルをベクトルＣＯとしましょう。すると、ベクトルＣＯ＝a/2 +s　となります。
ベクトルＯＣがaとbで表されれば、外心が求められたことになると思います。

（１）と（２）から、sを求めれば良いのですが、ちょっと難しいですね。この場合は、sがaとbについて一次従属であることを使えば何とかなりそうです。
s＝ka＋lb とおいて、（１）、（２）に代入し、kとｌを求めれば良いと思います。（ｋ,lは実数です。）

式はきたない（複雑）ですが、求めることができるはずです。一応lだけ、結果を示しておきます。（あっているかどうかは責任が持てません）

ｌ＝{|b|^2 - (a,b)}/{2|b|^2 - (a,b)^2/|a|^2}
同様にして、kも求めて下さい。

あとは、自分で考えて下さい。
わたくしの個人的な考えでは、数学の計算問題の場合、大切なことは、最終的な結果を具体的に求めることよりも、結果を求める、具体的な手順が示されれば、それで、充分だと思います。

回答No.3

age_momo

q = [a^2(b^2 + c^2 - a^2)[→a] + b^2(c^2 + a^2 - b^2)[→b] + c^2(a^2 + b^2 - c^2))[→c]/(16S^2)
ただしSは三角形の面積です。

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/centre/index.html

http://www3.ocn.ne.jp/~takako85/triangle.html

お礼

非常にわかりやすいサイトをありがとうございます!この解法はなにかに活用できそうですね!

回答No.2

ojisan7

No1です。lの値が複雑なため、タイプミスをしてしまいました。訂正させて下さい。

l＝1/2 * {|a|^2(|b|^2-(a,b))}/{|a|^2|b|^2-(a,b)^2}
となります。同様にkも求めて下さい。

ベクトルＣＯは、わたしの計算によれば、

ＣＯ＝1/2 * {|b|^2(|a|^2-(a,b))a＋|a|^2(|b|^2-(a,b))b}/{|a|^2|b|^2-(a,b)^2}

となります。これは、aとbが対称になっているので、たぶん、正しいと思います。（あまり、自信はありませんが）

是非、ご自分で計算し、確かめて下さい。

お礼

ありがとうございます!！発想の転換ってのはやはり必要ですね!
ずっと同じことを考えていては埒があかないってのを実感しました。
辺の中点から外心に向かうベクトルを考えるっていう発想が僕にはありませんでした。
これにこりてつまずいたら別の方向から図をみるということを心がけます!
本当にありがとうございました!