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- kumipapa
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＞ 絵を書くのが苦手・・・ よーく分かる。私も苦手。でも、絵を書かなければ始まらない。 ということで、簡単で良いので絵を書こう。 この問題、最初から何も分からないのでしょうか？ アからカまで（四面体の体積まで）は高校数学の知識は不要な問題です。 まずは絵を書いて、以下のことを補足欄へどうぞ ・ 三角形ＯＡＢはどのような三角形か ・ ＯＡはいくらか（ア） ・ 三角形ＯＡＣはどのような三角形か ・ ＯＣはいくらか （イ、ウ） ・ 四面体ＯＡＢＣの底面を三角形ＯＡＢとすると、四面体の高さはどの辺と同じか ・ 四面体ＯＡＢＣの体積はいくらか （エ、オ、カ） 初めての質問のようですが、ここではご自分が考えた事ややってみたことを何も書かずに「この問題を教えてください」という問題の丸投げが禁止されています。そして、問題の丸投げへの答えの回答も禁止されています。この質問もこのままですと近いうちに削除されて、「あなたの質問はマナー違反なので削除します」とあなたに連絡が行きます。 ということで、上のことを補足欄へ是非。
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- 回答No.5
- kumipapa
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一般的に、Ｏ (オー) という記号は座標原点を表す場合が多い。そう決まっているわけではないし、Ｏだから原点でなければならない、ということはないけれど、大抵の場合はそう。 で、この場合も、頂点Ｏが座標原点にあると思って図を書いてみる。 ＡＯ⊥ＢＯだから、まずはＡをｘ軸上に、Ｂをｙ軸上にとってみよう。 すると、ＡＯ⊥ＣＯ、ＢＯ⊥ＣＯだから、点Ｃはｚ軸上の点。 こう図を書くと、底面が△ＯＡＢで上の頂点がＣの四面体ＯＡＢＣが書ける。この四面体は、直方体を斜めに切り出した形をしている。頂点Ｏの周りの頂角がすべて直角だ。底面を△ＯＡＢと見れば高さはＯＣ、△ＯＡＣを底面と見れば高さはＯＢ、△ＯＢＣを底面と見れば高さはＯＡだ。△ＡＢＣだけは底面と見ると高さを計算するのは面倒なのでやめておく。 底面の△ＯＡＢに着目すると、∠Ｏ＝９０°の直角三角形で、かつ∠ＡＢＯ＝４５°なのだから、△ＯＡＢはＯＡ＝ＯＢの直角二等辺三角形。ＯＢ＝２であるから、 ＯＡ＝２ △ＯＡＣに着目すると、∠Ｏ＝９０°、∠Ａ＝６０°、∠Ｃ＝３０°の直角三角形。（正三角形を半分に切った三角形ですね） ＡＣ：ＯＡ：ＯＣ＝２：１：√３ なのはＯＫですね。 ＯＡ＝２なので、ＯＣ＝２√３ 四面体の体積は、△ＯＡＢを底面、ＯＣを高さとみなすと、 △ＯＡＢの面積は (1/2) ×２×２＝２ 高さ ２√３ 故に体積は (1/3) ×２×２√３＝４√３／３ 次に三角形ＡＢＣの面積を求める。 分かることをすべて列挙すると・・・ ＡＣの長さはさっきＯＣを求めた延長線上でＡＣ＝４ △ＯＣＢは△ＯＣＡと合同なので、ＣＢ＝４ また△ＯＡＢは直角二等辺三角形でＯＡ＝ＯＢ＝２なのでＡＢ＝２√２ △ＡＢＣの求め方を２つ紹介すると・・・ （１） ＡＢの中点をＤとする。△ＯＤＣは直角三角形で、ＯＣ＝２√３、ＯＤ＝√２（∵△ＯＤＡが直角二等辺三角形でＯＤ＝ＡＤ） 三平方の定理より ＤＣ＝√（(2√3)^2 + (√2)^2)＝√14 故に三角形ＡＢＣの面積は (1/2)×ＡＢ×ＤＣ＝(1/2)×２√２×√１４＝２√７ （２） △ＡＢＣにおいて余弦定理を適用すると ２×４×４ cos∠Ｃ＝４^2＋４^2－（２√２）^2 cos∠Ｃ＝3/4 故にsin∠Ｃ＝√(１－(3/4)^2)) = √７／４ 三角形の面積は (1/2) ＡＣ×ＣＢ×sin∠Ｃ＝ (1/2)×４×４×√７／４＝２√７
質問者からのお礼
ご親切にどうもありがとうございました。 わからないことが１つ減らすことができたので良かったです。 感謝の気持ちでいっぱいです！！ （よければ、また数学教えて下さい。）
- 回答No.4
- kumipapa
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垂線の出し方ですが、勿論一通りではありませんが・・・。 以下、必ず自分で図を書いて読んでください。 四面体OABCを、三角形OABが底面になるように図を書いてください。 ここまでのところ、質問者さんも次のことは分かったでしょう。 三角形OABは∠Oが直角な直角二等辺三角形で、OA = OB = 2 です。 また、三角形 ABC は CA = CB である二等辺三角形です。 辺ABの中点を D として下さい。 三角形ODCは直角三角形になることは分かりますか？ 次に、点O から DC へおろした垂線の足を H とします。 四面体 OABC の対称性から、OHが求める垂線です。 三角形ODCに着目して、 OD = √2 CD = √14 になることが計算できます（計算は簡単なのでご自分で） △OCD ∝ △HOD なので（理由は簡単なのでご自分で） OC : HO = CD : OD OC = 2√3, CD = √14, OD = √2 を代入して HO を求めると、 HO = (2√21) / 7 これが点Oから三角形ABCにおろした垂線の長さです。
質問者からの補足
三角形ABCに下ろした垂線の長さ…なんとかできそうです。 四面体OABCの体積と三角形ABCの面積がどうやらよくわかってなかったみたいで、答えが違うことがわかりました。 OA＝２、OC＝２√３までは良かったのですが…。不覚なことに計算用紙もなくしてしまい、どう間違えたのかもわかんなくなってしまいました。図形もなんとなくこうかな？と思うくらいで計算していたと思います。 私の想像していた図形は底面が三角形ABCでした。もし底面にあたるのが三角形OABでしたら上にあたる点はCでしょうか。 三角形ABCの面積の出し方はS＝１/２bcsinAだということ、体積はV＝１/２三角形OBC・AOということがわかりました。 質問者は一体何がわからないんだ？と思われると思いますが、私が知りたいのは、四面体OABCの体積の出し方と答え＆三角形ABCの面積の出し方と答えです。 無理難題をふっかけては困らせていると思います。すみませんが、どうか見捨てないで教えてもらえると幸いです。よろしくお願いします。
- 回答No.3
- kumipapa
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＞ とりあえずOAとOCの答えはできました。 ＞ 四面体OABCの体積の出し方と垂線の長さの出し方がよくわかりません。 OA と OC の答えは合っていましたか？ 四面体 OABC の底面を三角形OAB とすると、四面体 OABC の高さはどの辺の長さになりますか？ また、三角形 OAB の面積はいくらになりますか？ それが分かれば四面体の体積は 底面積×高さ / 3 で求められますよね。 ここまで求めて補足欄へどうぞ。 垂線の長さの前に、三角形 ABC の面積はどうですか？ 分かったのか否かを補足欄へどうぞ。 垂線の長さはその次で。
質問者からの補足
何とか三角形OABの面積までたどりつくことができました。 多分OAとOCは大丈夫だと思います。 垂線の長さの出し方もお願いできますでしょうか？
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