数学ほこ×たて対決：モーレーの定理vs座標計算
にゃんこ先生といいます。
任意の三角形の角の3等分線を引いてできる内部の三角形は、正三角形になるというモーレーの定理があります。
定理のエレガントさの反面、証明は思った以上にエレファントなものとして知られています。
一方、図形に関する問題を座標を用いて機械的に計算する解析幾何とよばれる方法があります。
コンピュータなどを用いて単純に式変形の計算ができる反面、記述がとても膨大になります。
では、それらが対決したらどうなるのでしょうか。
モーレーの定理において、三角形の頂点をA(a_x,a_y),B(b_x,b_y),C(c_x,c_y)などとして、内部にできる3点D,E,Fの座標を計算し、辺の長さが等しいことを示す方針で、「実際に」証明していることが確認できるサイトなどはありますか？
角度の3等分線においては、tan(3θ) = { 3tan(θ) - tan^3(θ) } / { 1 - 3tan^2(θ) } を使うのが適切と思っています。ただ、3次方程式(代数的に解ける)を解く必要があると思いますが。
または、モーレーの定理において、三角形の頂点を単位円上の複素数A(e^ai),B(e^bi),C(e^ci)などとして、内部にできる3点D,E,Fの複素数の値を計算し、辺の長さが等しいことを示す方針で、「実際に」証明していることが確認できるサイトなどはありますか？
角度の3等分線においては、円周角の定理により比較的簡単に記述できると思います。ただ、偏角を使うと0から2πなどという範囲を考える必要があり、3つの文字の対等性が崩れると思いますが。
