パズルのようなものなのですが・・・

質問

*---*　問題です　*---*

１段目が５つで、５段目が１つの、逆ピラミッドのような形に１５個のマスがあり、１番上の５つのマスに１～１５の異なる整数を１つずつあてはめる。
このとき、２段目以降のマスはその上の段の両隣のマスの数の差の絶対値を記入するものとして、全てのマスに最終的に１～１５の数が１回ずつ現れるようにするには、１段目の５つの数はどのようなものにすればよいか。

*---*　問題ここまで　*---*

例えば、１段目に　「2」「14」「15」「7」「11」と書いたとすると、２段目は「12」「1」「8」「4」となります。
（ちなみにこの例だと３段目の一番左が「11」となり、１段目の一番右とかぶるのでダメです）
いろいろ考えてみたのですが答えが出ません。よろしければ答えだけでなくその答えを導くための考え方（例えば、１段目に必ず「15」が必要で～・・・など）などもちょうだいできればうれしいです。
なお、この答が仮に「そんな５数は存在しない」ということであれば、それがどうして言い切れるかを教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

edomin · ベストアンサー

「もしそうなら、問題を入力してから80分ほどで答を見つけ出したその過程についてもう少し聞かせてくださいませんか？＾＾楽しみにしています！！」

「google」です。(^^;

ページの載せ方が悪かったみたいです。私は解答を導いていません。 m(_ _)m
新たに、こちらのページを参照してください。「答１０５」です。（爆）

http://www.shirakami.or.jp/~eichan/math/mathfr.html

参考URL：

http://www.shirakami.or.jp/~eichan/math/mathfr.html

お礼

見ました、どうもありがとうございました＾＾

回答No.7

Cocotte_rn

以前、参考URLにあるページで回答したことがあります。
一般式で書いているのでわかりにくいかもしれませんが、５段のものだと、
　１段目：1-15までどれでも入る。15は必ずここ。
　２段目：1-14まで
　３段目：1-12まで
　４段目：1-9まで
　５段目：1-5まで
となります。５段目から作っていくと少しは楽に回答に至れると思います。

この問題、５段までは存在し(複数回答があるものもあります)、６段以上は存在しないことが証明されています。証明は７ページあるので、ご興味がありましたら原文を入手することをおすすめします。

この問題のエレガントな証明：
BULLETIN OF THE INSTITUTE OF MATHEMATICS ACADEMIA SINICA Volume 5, Number 1, June 1977
p191-197
タイトル：EXACT DIFFERENCE TRIANGLES
著者：G.J.CHANG, M.C.HU, K.W.LIH, A.C.SHIEH

参考URL：

http://72.14.203.104/search?q=cache:wvhsuqXf4ZIJ:web2.incl.ne.jp/yaoki/akazu2.htm+%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E9%83%A8%E

お礼

しばらく多忙のためネットに接続していませんでした。
原文を一度読んでみようと思います。どうもありがとうございました＾＾

回答No.6

ryn

先ほどの回答の下のほうで
　13の右隣は奇数でなければならないので 13-2 は×
としたところは
　2はすでに使用済みなので 13-2 は×
に訂正してください．

お礼

下のも含め読んでみましたが、偶奇を考えるという考えには至りませんでした・・・修行不足を実感しています＞＜どうもありがとうございました＾＾

回答No.5

ryn

一番上の段に15が必要という以外の絞り方としては，
偶数と奇数の並びに注目するという手があります．

1～15の中には偶数7個，奇数8個があることから，
一番上の段は
　(1)　偶偶奇偶奇
　(2)　奇偶偶偶奇
　(3)　偶偶奇奇奇
　(4)　奇偶偶奇奇
　(5)　偶奇奇奇奇
の5パターンのみが許されます．

次に，縛りのきつい差の大きいものを考えていきます．
例えば，
　差14：15-1
　差13：15-2 = 14-1
　差12：15-3 = 14-2 = 13-1
　差11：15-4 = 14-3 = 13-2 = 12-1
のようなものがパターンが少ないので
そのあたりから埋めていきます．

具体的には，先ほどの
　偶偶奇偶奇
の場合，一番上に15がくることから
　偶偶15偶奇
　偶偶奇偶15
の2通りがあります．

次に，15の隣に14がきて差が1か，
15の隣に1がきて差が14かのどちらかでしか
14は作れないことを考えると，
　偶14,15偶奇
　偶偶15,14奇
　偶偶奇14,15
　15,14偶偶奇
　偶14,15奇奇
　偶偶15,1奇
　偶偶1,15奇
　偶偶奇15,1
　偶偶奇1,15
　15,14偶奇奇
　奇偶14,15奇
　奇偶偶15,1
　奇偶偶1,15
　14,15奇奇奇
　偶15,1奇奇
　偶1,15奇奇
　偶奇15,1奇
　偶奇1,15奇
　偶奇奇15,1
　偶奇奇1,15
の20パターンです．
すでに20通りも候補が出てきたので，
このやり方が最善かは自信なしですが，
これ以降はそんなに増殖しないと思います．

さらに続きの解き方を
　偶14,15偶奇
のパターンを例に見てみると，
現時点で2段目までは
　偶14,15偶奇
　偶1奇奇
となっています．
こｋで，13が 15-2 or 14-1 のみでしか作れないことに注意すると，
今の例の場合，15の右に2を置くしかありません．
すると，
　偶14,15,2奇
　偶1,13奇
　奇12偶
となります．

この段階で12も決定したので，次に11を考えます．
11の作り方は
　15-4 = 14-3 = 13-2 = 12-1
の4通りありますが，
　15の両隣は埋まっているので 15-4 は×
　14の左隣は偶数でなければならないので 14-3 は×
　13の右隣は奇数でなければならないので 13-2 は×
　12の左隣に1を埋めたいが，1は使用済みなので×
というように今の例ではこの段階で破綻します．

あと，19種類だけ(TT) なので計算機に頼らずとも
答えが導き出せると思います．

回答No.3

edomin

こちらをご覧下さい。
http://www.shirakami.or.jp/~eichan/math/exxx/ex105.html
この中に同じ問題があります。
なので、「～そうです。」のような表現を用いました。

また、ポイントは私では無く、他の方に付けてください。
調べた結果がたまたま該当しただけですから・・・。　(^ ^;

お礼

サイトを確認しました。
コンピュータで確認したといわれてしまうと、「そうなんだ」で終わってしまってちょっと感動があせてしまいました。笑
でもこれね、このサイトには一切答が書いてませんよね？唯一性については確かにかかれていますが・・・。
ということは、edominさんは答えを自力で見つけられたのですよね！？もしそうなら、問題を入力してから80分ほどで答を見つけ出したその過程についてもう少し聞かせてくださいませんか？＾＾楽しみにしています！！

＞ポイントは私ではなく、他の方に・・・
すいません、却下させてください。笑　20pt差し上げますので☆

回答No.2

edomin

最上段のみ・・・

「１３」「３」「１５」「１４」「６」
５段はこれしか解答がないそうです。

また、６・７・８段には解が存在しないそうです。

お礼

どうもありがとうございます！
今確認してみましたが、確かにその通りで感動しました☆
問題と解答、そういう意味ではこれてパーフェクトなのですが、私の質問には実は半分しか答えてくださっていません・・・
edominさんは回答してくださるに当たり「～そうです」といういわゆる「伝聞」の言い回しを使われていますが、実際に誰かに聞いたり、調べたものを引用したりしておられるのですか？
ただ単にひたすら試していくのではなく、論理的に答えを導く（下の方のお礼のところに私が書いています、「１５が最上段に必要」など）導き方など、どんなお話でも結構ですので、もう少しお話を聞かせて下さいよ＾＾

誠に勝手ながら、edominさんは10pt確定の方とさせて頂き、あと１～２日回答期間を設けさせておいていただくこととします。
どうしてその答えが出てくるのか・・・とても興味深いところです。edominさん、飛び入りの方もどうぞよろしくお願いいたします！＾＾
（このお礼をえらそうな言い回しに感じてしまった方にはお詫び申し上げておきます。）

回答No.1

edf

別に計算したわけでも、
答えにたどり着いたわけでもないですが、
一番上の段には確実に「１５」が必要ですね。

お礼

ありがとうございます＾＾確かにその通りですね。
あと、例えば１４は最上段に書くか、もしくは最上段に１５と１を並べるかしないとダメなんですよ。みたいなこともわかりますよね＾＾
よろしければもう少しおつきあい下さいな♪