３次元座標の計算

質問

任意の２本の直線の始点、終点の座標（ｘ、ｙ、ｚ）がわかっているときその直線同士の最も接近した箇所のそれぞれの直線上の座標を計算する方法を教えてください。

回答No.2

alpha16 · ベストアンサー

いちばん簡単な求め方かどうかはわかりませんが、

過程１　まず、2直線を直線ＡＢ，直線ＣＤとし、それぞれの方向ベクトルを
　　　　ｎ(ベクトル)、ｍ(ベクトル)としておきます。
過程２　ｎとｍの外積をとり、ｎ×ｍ＝ｐ(ベクトル)としておきます。
過程３　さらに、ｐとｎの外積ｐ×ｎ＝ｑ(べクトル)をとります。
過程４　このｑを法線ベクトルと直線ＡＢを含む平面をもとめます。
過程５　次に、この平面と直線ＣＤの交点を求めます。

この点が、直線ＡＢに最接近する直線ＣＤ上の点です。
直線ＡＢ上の点は同様に求めるか、あるいは

過程６　直線ＡＢ上の点を適当にｋなどを使ってあらわす。
過程７　三平方の定理を使って先ほど求めた点との距離をもとめて
　　　　それが最小になるｋを見つける。
　　　（√の中ｋの２次式になるので、√の中だけを考える。
　　　　決して微分してみたりしない。時間の無駄。
　　　　まあ１度やってみるのもいいかも）
過程８　そのｋから過程６であらわした直線ＡＢ上の点に代入する

距離も出したければ、過程７の式の最小値がそれですね。

kogorou100さんが聞きたいことは、こういう内容のことだと思いますが、
表現の問題として、始点・終点があれば、直線ではなく、線分、
片方だけあれば、半直線といいます。
線分や半直線の場合は求め方が、ちょっと複雑になります。
　（基本的には、線分でも半直線でも考え方は一緒なので、以後すべて線分と
　　書きますが、それは、線分あるいは半直線を意味することとします。）
それは、その始点あるいは終点が、最接近点になることもあるからです。
これは、大きくわけると３パターンが考えられ、

１つめは、上の過程５過程８で求めた点のどちらか（あるいは両方）が
　　　　　対応する線分の始点あるいは終点に一致する場合
　　　　（この場合は上の求め方と同様なので、特に問題なし）
２つめは、過程５過程８で求めた点がともに、それぞれが対応する線分
　　　　　の範囲内に入っていない場合
３つめは、過程５過程８で求めた点のそれぞれが（対応する）片方の線分
　　　　　の範囲内には入っているが、もう片方の線分の範囲内の入って
　　　　　いない場合

２の場合は、過程５過程８の最接近点に近いほうの始点同士が、線分の最接近点
　　　　　　です。
３の場合は、過程５過程８の点が範囲からはずれたほうの線分の、始点（過程５
　　　　　　過程８の点に近いほう）が最接近点の１つで、もう１つは、その点
　　　　　　から他の線分への距離が最短になる点を求めればよいと思います。

どうでしょうか？
ちなみに、外積はわかりますか？
２つのベクトル両方に直交するベクトルのことですが。
ご存知でなければ、補足します。

お礼

どうも有り難うございました。私には難しい内容ですが後は、図書館で調べてみます。最終的には上記のａ、ｂ、ｃ、ｄの座標を入力すると接近する箇所の座標ｅ、ｆをエクセルまたは日本語ベーシッックなどで求められる様にしたいと思います。

回答No.1

Cake0530

僕国語苦手なんで質問の意味がよく分からなかったんですが、２直線の最短距離がわかれば良いのかな？

　外積をご存知なら外積を使えば1番早いと思います。ご存知でないなら、はじめに分かっている２本のベクトルをそれぞれａ、ｂとして、ａ、ｂに共に直行するベクトルを内積で強引に出せば良いのでは？

お礼

どうもありがとうございます。質問の仕方が悪くて申し訳ございません。外積とか初めて聞くことばです。わたしにはレベルが高すぎるようですのでもう少し勉強してみます。