3次元の直線と座標が最短距離となる直線の座標とは？

質問

先日、質問では2次元の直線と座標が最短距離となる直線の座標を質問させていただきました。

今度は

(1)3次元での直線※と任意の(2)座標（ｘ１、ｙ１、ｚ１）があります。

(1)直線と(2)座標が最短距離となる直線上の座標を計算方法を教えて頂ければ幸いです。

※（ｘ、ｙ、ｚ）＝（０，０，０）～（１，１，１）の対角線

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

＞求める点の座標を(x,y,z)、tを実数とし、ベクトルを↑で表すと
↑(x,y,z)=t↑(1,1,1)
↑(x,y,z)-↑(x1,y1,z1,)=t↑(1,1,1)-↑(x1,y1,z1,)=↑(t-x1,t-y1,t-z1)と
↑(x,y,z)=t↑(1,1,1)とが直交することが条件だから、
内積を↑・↑で表すとして、
↑(t-x1,t-y1,t-z1)・t↑(1,1,1)=↑(t-x1,t-y1,t-z1)・↑(t,t,t)
=t(t-x1)+t(t-y1)+t(t-z1)=t{3t-(x1+y1+z1)}=0から
t=0,t=(x1+y1+z1)/3
よって求める点の座標は、x=y=z=(x1+y1+z1)/3・・・答

お礼

ありがとうござました。

非常に分かり易かったです。助かりました！！！

回答No.3

Tacosan

直線上の点と指定した点との距離が最短ってやれば, あとは勝手に出てくる.

お礼

ありがとうござました。

回答No.2

spring135

3次元での直線Lと任意の点P（ｘ１、ｙ１、ｚ１）との最短距離を与える点Qをもとめる。

QはLに直交し、Pを通る平面SとLの交点として求められることがわかりますか。

Lの方程式

x/m=y/m=z/m=t (1)

m=Lの方向余弦＝1/√3, t=Lに沿って計った長さ

Sの方程式

m(x-x1)+m(y-y1)+m(z-z1)=0　　　(2)

(1)、(2)の交点を求める。(1)より

x=y=z=t/√3 (3)

(2)へ代入

1/√3(t/√3-x1)+1/√3(t/√3-y1)+1/√3(t/√3-z1)=0

t=(x1+y1+z1)/√3　　　　　　　　　(4)

(3)より

x=y=z=(x1+y1+z1)/3

Q((x1+y1+z1)/3,(x1+y1+z1)/3,(x1+y1+z1)/3)

お礼

ありがとうござました。

分かり易かったです。助かりました！！！

回答No.1

noname#221368

添付図にあるように直交する時に最短とわかっているのですから、その条件を内積の式で表せばOKです。

　P＝（ｘ１、ｙ１、ｚ１）とします。また「（ｘ、ｙ、ｚ）＝（０，０，０）～（１，１，１）の対角線」上の点をQとします。Qの式は、「（０，０，０）～（１，１，１）の対角線」は、（１，１，１）方向に進むベクトルなので、e＝（１，１，１），Q0＝（０，０，０）とすれば、

　　Q＝Q0＋ke　　　(1)

と書けます。ここでkは任意の実数で、以後±はベクトルの加減の意味で使います。PからQへ引いたベクトルは、

　　Q－P＝Q0＋ke－P＝ke－P　（Q0＝0を使用）

　これが直線の方位eと直交すれば良いので、

　　e・(ke－P)＝k(e・e)－e・P＝0

です。・は、ベクトルの内積を表します。eもPも既知ですから、kは、

　　k＝(e・P)/(e・e)　　　(2)

と決まります。後は(1)に戻り、(2)で計算されたkを(1)に代入し、Qとして垂線の足（最短距離となる直線上の座標）を求めます。

お礼

ありがとうござました。

私には難解な解放でしたが、助かりました！！！