曲線と座標が最短距離となる直線の座標について2

質問

(1)曲線（例：y＝　a/(x　-　b）と固定点の(2)座標（０、０）があります。

(1)曲線と(2)固定座標が「最短距離となる曲線上の座標（１）」の計算方法を教えて頂けないでしょうか？

回答No.3

staratras

No.2です。誤記を訂正します。失礼しました。

誤：(1) を変形するとp≠0　のとき(p-b)^3=a/p が成り立ちます。
正：(1) を変形するとp≠0　のとき(p-b)^3=a＾2/p が成り立ちます。

誤：双曲線y2=a/x
正：双曲線y2=a^2/x

回答No.2

staratras

ご質問の曲線y=a/x-b はa≠0のとき、漸近線がx軸(y=0)とx=bの直角双曲線です。原点(0,0)からの距離が最小の点を求めるには、原点からの距離(または距離の2乗)を表す関数を作り、微分法を使って最小値を求めるNo.1の方の方法が一般的でしょう。

ここでは簡単に解の見当をつける方法を考えてみました。まず思いつくのはy=a/x-bのグラフを紙(またはパソコンの画面)に描いて、原点を中心としてこの双曲線に外接する円を目分量で描くことです。この円の半径が求めたい距離です。目分量なので数学的な厳密さを欠きますが、大まかな見当はつきます。

もう少し理屈を考えたのが以下の方法です。双曲線y=a/x-b上の点P(p,a/p-b)で原点を中心とする円と外接するとすれば、点Pを通る双曲線と円の両方に共通の接線が引けます。双曲線の式をxで微分するとy'=-a/(x-b)^2なので、共通接線の傾きは-a/(p-b)^2 です。また原点Oと接点Pを結ぶ円の半径の線分の傾きは(a/(p-b))/p=a/(p(p-b))で、この半径OPは共通接線と垂直なので-a/(p-b)^2 ×a/(p(p-b))≂-1　が成り立ちます。

これを整理するとp(p-b)^3-a^2=0　…(1) です。ここでx=p-bとすると4次方程式x^4-bx^3-a^2=0になります。4次方程式なので代数的に解けることは解けますが、ものは試しと「計算サイト」で解いてもらったところ、解はここに書き写せないほど平方根・立方根・4乗根が複雑に登場する数式になりました。

そこで(1)をグラフで解くことにします。(1) を変形するとp≠0　のとき(p-b)^3=a/p が成り立ちます。これはすなわち、3次関数y1=(x-b)^3 と双曲線y2=a/x のグラフの交点を意味します。なので双曲線y=a/x-bのグラフに、3次関数y1=(x-b)^3 と双曲線y2=a/x のグラフを描き加えます。y1とy2のグラフの交点Qからx軸に垂線を下ろし、元々の双曲線y=a/x-bのグラフとの交点が求める接点Pで、原点Oとの距離OPが求めたい最短距離です。下のグラフはa=1,b=-1 の場合で、OP≒0.8182です。

回答No.1

spring135

一般論としては曲線y=f(x)上の点P(p,f(p))と定点C(x0,y0)の距離

L=√[(p-x0)^2+(f(p)-y0)^2]

を最小にする点Pを求めればよい。

（例）

曲線y＝f(x)=a/(x-b)と点C(0,0）の距離Lが最小となる点P(p,f(p))を求める。

f(p)=a/(p-b)

L=√[(p-0)^2+(f(p)-0)^2]=√[p^2+f(p)^2]=√[p^2+(a/(p-b))^2]

Lをpで微分して

dL/dp=(1/2){√[p^2+(a/(p-b))^2]}^(-1/2)[2p-2a^2/(p-b)^3]

Lが最小となるのはdL/dp=0の場合で

p(p-b)^3-a^2=0　　　（1）

を満たすpがLの最小値を与える。

（1）はpの4次式で解析的に解ける場合は限られている。

-解ける場合の例-

b=0,a>0

P=±√a, f(p)=±√a, L=√2a

お礼

お礼が遅れて申し訳ありません。
大変分かり易い回答ありがとうございました。