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「ｎ次の方程式はちょうどｎ個の解を持つ」というのが 代数学の基本定理としてあります。 （これは大学ぐらいでやりますが、高校でも事実として 知っていても良いかなと思います） ということは因数分解ができて、その仕方はただ一通り に限るということです。 ２次で話をして見ましょう。 ax^2+bx+c＝px^2+qx+r という式がｘ＝１，２，３と３つの値で成り立つとします。 この式を左辺に移項して Ａx^2＋Ｂx＋Ｃ＝０ になったとします。 ｘ＝１，２を解に持つので Ａ(x-1)(x-2)＝０ と因数分解できます。この因数分解はただ一通りです。 さらにｘ＝３でも成り立つので代入すると＝０になる。 ということは代入すると ２Ａ＝０ よってＡ＝０ なので左辺は完全に０ だから元の式は左辺と右辺が等しい。すなわち恒等式 です。
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- tatsumi01
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削除対象かどうか心配しつつ。 「n次の等式」とは「両辺がn次の多項式である等式」でしょうか。 もしそうなら移項して係数を書き換えることにより a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + a(n-2)x^(n-2) + .... a(1) = 0 ..... [1] となります。この x に x1, x2, ...., x(n+1) の n+1 個の変数を代入し、n+1 個の連立方程式 X A = 0 ができます。ここで X は (xi^n, xi^(n-1), xi^(n-1), ..., xi) なる行ベクトルを並べた行列、A は a(i) を並べた列ベクトルです。 n+1 個の x が全部異なるなら X (ヴァン・デル・モンドの行列だと思ったが記憶不確か) は正則行列であることが簡単に判りますから、A = 0 したがって、式 [1] の左辺の係数が全部０ですから、元の二つの多項式は恒等式です。
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