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連立方程式について
最近中学生の知り合いに数学を教えることになったのですが、そこで「連立方程式ってどうしてこの方法で解けるか分からない」と言われて答えられませんでした。この方法というのは中学校で習う連立方程式の一般的な解き方です。 計算で連立方程式はらくらく解けるみたいなのですが、イメージ的というか直感的にぜんぜん分からないみたいです。 私はなんとなくイメージは分かるんですが、数学的に説明しようとしても説明できません。 いい説明方法のある方、回答お願いします。
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「イメージ的」「直感的」「納得」などの中身は人によって違うので、数学で割り切ることはできません。どちらかというと、心理学、教育学の問題でしょうか。 連立方程式の解き方には教科書にも載っているように、代入法、加減法があります。これらが正しいことは、等式の性質から証明できます。また、出てきた解を、元の方程式に代入すれば、正しい解であることも確かめられます。 しかし、これでも、納得しない人は納得しないのです。数学で証明できるから正しいのだ、と思ってくれればいいのですが、それではだめみたいです。何か、その人の今までの経験や知識に合致しているとか、その人なりの思考パターンに合う説明があるとかでないといけないらしいです。 しかし、数学では、一度正しいと証明したことは、安心して使っていいのです。正しい方法を使うのに不安がっていては勉強が進まないので、「これでいいのだ」という境地に達しないといけないのでしょう。その人とじっくり話をしてみて、どこに心理的な引っ掛かりがあるのかを見つけて、うまく導いてあげないといけません。難しいですね。
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- proust
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こんばんは。 参考URLのように図で考える方法もあるようです。(線形代数) 図左上の連立方程式は (3,1)x + (2,5)y = (12,17)と読み替え、 図のように、(0,0),(3,1),(5,6),(2,5)からなる平行四辺形を、 平行四辺形の２辺のそれぞれの方向にx倍、y倍したものが (12,17)になるようにx,yを定めるということを表しているようです。
お礼
線形代数を用いて説明、という方法もありましたね。 ただ理解できれば納得してくれそうですけど、この考え方は理解までが難しそうです。理解できそうなら少し触れさせてみたいと思います。 ありがとうございました。
- tatsumi01
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鶴亀算、仕事算、流水算、など中学入試の問題集でいろいろ集めてください。最近は就職試験（SPI）にも使われます。 連立方程式を使わないと、それぞれの問題ごとに別の解き方を覚えないといけません。 それらが皆連立方程式で統一的に把握できることはすばらしいのではないでしょうか。
お礼
連立方程式教えて間もないのでやや難しいかもしれません。 今よりもう少し上達したらやらせてみようと思います。 ありがとうございました。
- monorailer
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こんばんは。 私が中学生の時妙に納得したのが 『わからないものが１つの時は、一つの式を作れば解が出る』 『わからないものが２つの時は、２つの式を作れば解が出る』 『わからないものの数だけ式を作って一つづつわからないものを減らしていくんだよ』 と言われた事があります… 確か連立方程式って解き方が３パターンぐらいありませんでしたか？ 私の場合は、上記の先生の話で代入法（？）だけ意味がわかり、後の方法は、やり方しか意味がわかってないような気がします… ひょっとしたらその中学生の方も何かの方法でピンとくるかもしれませんね。 例えばグラフ問題で説明するとか… まあ、数学も人が考えたものですからその人の考え方に近い人が理解しやすいのではないでしょうか…
お礼
代入法は微妙な反応でしたが納得してくれたと思います。 ＞グラフ問題で説明するとか… そうですね…。今度試してみます。 ＞まあ、数学も人が考えたものですからその人の考え方に近い人が理解しや ＞すいのではないでしょうか… #５さんも仰っていましたが人それぞれ理解の仕方、感じ方が違うので合う方法を見つけてあげるのがやはり重要だと思いました。 ありがとうございました！
- sunasearch
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代入法にしても、消去法にしても、 ＝のついた「等式」の性質を使っているだけです。 ＝（イコール）の左と右は同じものです。 ですから、代入して取り替えても同じものですし、 式同士を足し算、引き算しても、 同じものを加えたり引いたりしているだけです。 ２つの未知のものの関係式のままでは値がわからないので、 等式の変形によって、未知のものを１つに減らす操作をすることによって、 １つの未知のものの値を求めているのです。
お礼
＞代入法にしても、消去法にしても、 ＞＝のついた「等式」の性質を使っているだけです。 ＝を用いて説明すれば理解してくれるかも。 ＞２つの未知のものの関係式のままでは値がわからないので、等式の変形に ＞よって、未知のものを１つに減らす操作をすることによって、１つの未知 ＞のものの値を求めているのです。 この辺の説明が難しいんですよ…。 ありがとうございました。
- Landolt
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やはり基本は「同じものに同じものを足しても同じ」とか、 「同じもの同士を取り替えても同じ」といった概念でしょう。 加減法にしろ代入法にしろ、基本はこれだと思います。 あとは、すこし教科書的にも先の事項になってしまいますが、 グラフと方程式の解の対応や、連立方程式の解とグラフの交点について触れるのも、 てこ入れの方法としては１つあります。 より難しい概念を説明しなくてはならないデメリットはありますが、 理解できれば目から鱗だと思います。
お礼
＞やはり基本は「同じものに同じものを足しても同じ」とか、「同じもの同 ＞士を取り替えても同じ」といった概念でしょう。 なるほど！これは納得してくれそうです。 ＞より難しい概念を説明しなくてはならないデメリットはありますが、理解＞できれば目から鱗だと思います。 私は数学は公式などを覚えさせるより感覚的、直感的に理解させたほうが後々伸びると考えています。なのでLandoltさんの仰るとおりグラフなどにも触れさせてみたいと思います。 ありがとうございました。
- o24hi
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こんにちは。 「連立方程式」。懐かしいですね。 「連立方程式」には、決まったパターンがあります(すいません、パターンの内容は忘れちゃいました)。 パターンの数は知れていますから、それを覚えて、後は、問題を見て、どのパターンなのか分かるように訓練すれば、オートマティックに解けます。
お礼
連立方程式のパターンを教えるのも手ですね！ ありがとうございました。
- taunamlz
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y = a1x + b1 y = a2x + b2 てやつですよね？ ｙ＝ｙだから a2x + b2 = a1x + b1 になるから じゃあ駄目なんでしょうか？ それとも、 a2y = a1a2x + a2b1 -)a1y = a1a2x + a1b2 --------------------- てやつでしょうか？ これは、式の変形で、 a1a2x = a2y - a2b1 a1a2x = a1y - a1b2 になるので、 a2y - a2b1 = a1y - a1b2 という計算をしているだけです これでいいんでしょうか？
お礼
早速の回答ありがとうございます。 どちらの方法も解けるみたいなんですけど納得はしてないみたいなんです
お礼
＞「イメージ的」「直感的」「納得」などの中身は人によって違うので、数 ＞学で割り切ることはできません。 しかし、ある程度のレベルの数学なら誰でもイメージで理解できると思います。でもやはりshkwtaさんの仰ってる通り、感覚的なものは人それぞれ違うし、心理学、教育学の問題というのもすごく共感できました。 ＞その人とじっくり話をしてみて、どこに心理的な引っ掛かりがあるのかを ＞見つけて、うまく導いてあげないといけません。 その通りですね！「心理的引っ掛かり」を見つけてあげることが重要なことだと思います！ 大変参考になりました。ありがとうございます。