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三角関数の問題を教えてください!
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- keros66
- ベストアンサー率100% (4/4)
(1) θのとりうる範囲は 15°<θ<150° です。これは、△ABCが3角形 として形成できる範囲として決まります。 (2) △ABCの面積Sは、△APCの面積S1と△ABPの面積S2の和になります。すなわち S=S1+S2 です。そして、正弦定理から、 AC=sinθ/sin(θ+30°) となります。したがって、AP=1 を考慮すると S1=(1/2)sinθ sin30°/sin(θ+30°) となる。同様にして AB=sinθ/sin(θ-15°) S2=(1/2)sinθ sin15°/sin(θ-15°) となる。したがってSは S=(1/2)sinθ sin30°/sin(θ+30°)+(1/2)sinθ sin15°/sin(θ-15°) =sin45°(sinθ)^2/{2sin(θ+30°)sin(θ-15°)} となり、1/Sは 1/S=2sin(θ+30°)sin(θ-15°)/{sin45°(sinθ)^2} となる。 (3)Sを最小にする(したがって1/Sを最大にする)θを求めるスマートな方法が私には見つからない。そこで、かなり煩雑になるが、次のように正攻法で扱ってみる。 まず、1/Sのθに対する微分を0にする(これは連続な関数が最大値をとるための必要条件である)ようなθを求める。次に、このθで1/Sが最大になることを確認する。さらにこの値をSの式に代入してSの最小値を求める。 d(1/S)/dθ=(2/sin45°)[{sin(θ+30°)cos(θ-15°)+cos(θ+30°)sin(θ-15°)} ×(sinθ)^2-2sinθcosθsin(θ+30°)sin(θ-15°)]/(sinθ)^4=0 これが成立するためには、[ ]内の式が0であることが必要十分である。 [ ]内の式の両辺を適当にわり算して、整理し、次の式を得る。 {1/tan(θ-15°)+ 1/tan(θ+30°)}tanθ-2=0 これに、加法定理を用いて展開し、整理すると次の式を得る。 (1+(tanθ)^2){(tan15°-tan30°)tanθ+2tan15°tan30°} =0 この式で、最初の因数は常に正であるから、結局、{ }内が0ということになる。すなわち、 (tan15°-tan30°)tanθ+2tan15°tan30°=0 これからθを求めると、 tanθ=2tan15°tan30°/(tan30°-tan15°)=1 ∴ θ=45° (θのとりうる範囲を考慮してある) なお、この計算には、次の値を利用した。これは公式集などにも出ているし、2倍角の公式などを用いて導くこともできる。 tan15°=2-√3, tan30°=√3/3 このθのとき、Sが(最小値などでなく)最大値をとることは、幾何学的考察からわかる。(詳細な説明は省略) 次に、面積Sの式に θ=45°を代入すると、面積の最大値は次のようになる。 S=(sin45°)^3/{2sin75°sin30°}=(sin45°)^3/{2cos15°sin30°} =(1/√2)^3/{2×(√6+√2)/4×(1/2)}=1/(1+√3)=(√3-1)/2 ここで、次の値を使用しています。 cos15°= (√6+√2)/4
- kony0
- ベストアンサー率36% (175/474)
(3)について、問題の趣旨とは違うと思いますが、座標設定で微分しても解けます。 すなわちAを原点、P(sqrt(3)/2,1/2),C(c,0), AB:y=xとしてBの座標とSをcを用いて表す。 このとき、c>(sqrt(3)-1)/2であるから(θの範囲の求め方と同じ考え)、 がちゃがちゃ計算するとSを最小とするのはc=sqrt(3)-1のときとなる。 PからACにおろした垂線をHとすると、CはHよりもA寄りにあって、tan(角CPH)=2-sqrt(3)より角CPH=15度(15度の直角三角形の辺の比として4:{sqrt(6)+sqrt(2)}:{sqrt(6)-sqrt(2)}は覚えておいた方がいいと思います) よって、θ=45度、S={sqrt(3)-1}/4(終) 三角関数を使って計算しても綺麗になるのかなぁ?そっちは難しそうなのでやってないです。ごめんなさい。
blue_monkeyです。 確かに、miku0004氏の回答通り、θは15~150度です。 アホなアドバスをしてしまい申し訳ありませんでした。 ゴメンナサイ。
お礼
いえいえ!どうもありがとうございました!!
- miku0004
- ベストアンサー率35% (10/28)
(1)15°<θ<150° (2)1/S={(2√3+2)sin^2θ+(2√3-2)sinθcosθ-√3+1}/2sin^2θ (3)面倒で~す。ぼちぼちやりま~す。 (1)は図かいてBCがACと平行になっちゃうときθ=150°,ABと平行になっちゃうときθ=15°です。 (2)正弦定理でAB,ACをθ及びAP(=1)で表し、S=(AB・ACsinA)/2で出したつもり (3)うまいやり方ある? てな感じで♪
お礼
ありがとうございます!参考になりました!!
初めまして、blue_monkeyと言います。 以下の内容は読み捨ててください。 θの取りうる値は、0度から150度でしょうか? お猿さんの野生の感ですぅ~。 (ユークリッド空間でのお話です。) 後の問題は、teika氏とred_snake氏におまかせしますぅ~。 θの取りうる範囲についても間違いがありましたら、訂正お願いいたします。 ウソがありましたらゴメンナサイ。
- red_snake
- ベストアンサー率21% (14/65)
まだ詳しくは解いていないので、方針だけ。 角度をθを使って全て表示できます。そうしたら正弦定理、余弦定理を使ってθだけの式をつくります。 それが出れば全て出来ます。 ちなみにAP=1は正弦定理が2つ成り立ちます。そして、2辺が出れば余弦定理に持ち込めます。
お礼
ありがとうございます!! 参考にしてやってみます!
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