共有点を持つ円について。

質問

共有点を二つ持つような関係にある、二つの円の方程式を連立すると、その共有点を結ぶ直線の方程式が出てきます。
これがよく分かりません。二つの直線の方程式を連立した場合は交点が求められるのに、なぜ二つの円の方程式を連立した場合では、「二つの交点」ではなく「線上に交点が存在する直線」が求められるのでしょうか？
どなたか教えてください。

回答No.2

oz-boshin · ベストアンサー

２つの円の方程式f(x,y)=0、g(x,y)=0に関して、
この２つの式からx^2とy^2が消えるように加減してやると、
出てくるのはその２つの円の交点を通る直線の方程式になります。
もっと詳しく言うと、
f(x,y)+k・g(x,y)=0において、k=-1のとき、この式は
その２つの円の交点を通る直線の方程式になります。
これは「円束」といわれるもので、この式のkにあらゆる値を代入すると、
この２つの交点を通る全ての円が表せます。
（但しg(x,y)=0は唯一表せない）

詳しくは以下のURLをどうぞ。

参考URL：

http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/pencil-of-circleslines.htm

回答No.3

pyon1956

皆さんの答で十分とも思いますが、少しだけ補足。
#2さんが書いてらっしゃるように、2つの方程式を引いて得られるのは共有点を結ぶ直線の式です。ただ、これは「二つの円の方程式を連立」した方程式の解ではありません。解を出す途中の式です。
解を出すには、この直線の式とどちらかの（どっちでも問題なし）円の方程式を連立して解きます。そうしてはじめて共有点の座標がでてきます。

つまり。仰るのは途中式で、条件の変形ですからまだ解を求めていない。
いわば解が満たす必要条件しか求めていないからそういうことになるのです。

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

直接には、「交点」しか出てこないと思います。
その後、２点を結ぶような直線の式に持って行くことは出来ますが。

「２つの円の方程式を連立する」というのは、どちらの方程式も満足する(x, y）の組を求めるということですよね、きっと。
「共有点を結ぶ直線」の「共有点（交点）」以外は、円周上にないわけですから、いずれの円の方程式も満たしません。