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osietemathの回答
連立方程式 x^2+y^2-2x+4y-1=0 x+3y-1=0 の解を(x,y)=(p,q)と置くとこれは円と直線の交点の座標になります（交点が存在することは交わることから分ります） (p.q)は上の連立方程式の解なのでもちろん p^2+q^2-2p+4q-1=0 p+3q-1=0 です。 ここで問題で与えられた x^2+y^2-2x+4y-1+a(x+3y-1)=0 が何を表しているのかを考えて見ます。 まずこの式が円を表すことは式の形から明らかです。 次にこの式の左辺に(p,q)を代入すると p^2+q^2-2p+4q-1+a(p+3q-1) ここでさっきの p^2+q^2-2p+4q-1=0 p+3q-1=0 を用いると p^2+q^2-2p+4q-1+a(p+3q-1)=0 となります。 これはどういうことかというと x^2+y^2-2x+4y-1+a(x+3y-1)=0は(p,q)を代入しても成り立つ。つまりx^2+y^2-2x+4y-1+a(x+3y-1)=0は(p,q)を通るということになります。 以上より x^2+y^2-2x+4y-1+a(x+3y-1)=0は交点を通る円だということが分りました。
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分かりやすい説明、ありがとうございました。