無限遠点での留数

質問

下の２つの有理関数の無限遠点での留数を求めようと思うのですが、[a][b][c]の方法で別々に考えると答えが合いません。考え方が間違っているのでしょうか、根本的に勘違いをしているのでしょうか、指摘してくださるとうれしいです。よろしくお願いいたします。

(1) z^3/(z^4 - 1)
(2) z^3/(z^2 + 1)

[a] Res(∞,f(z)) = -Res(0,f(z)) を使うと、(1)は0となり不正解、(2)は0となり正解
[b] z=1/w と置換してから展開したものに(-1/w^2)を乗じて考えると、(1)は-1となり正解、(2)は1となり不正解
[c] z=0 での展開結果で z=1/w を代入し(-1/w^2)を乗じて考えると、(1)は0となり不正解、(2)は0となり正解

参考書の答えでは、(1)の答えは-1、(2)の答えは0、となっています。

回答No.1

info22

(1)Res(∞,f(z))=zf(z)|(z→∞)
=1/{1-(1/z^4)}|(z→∞)=1

(2)f(z)=z+z(z)
g(z)=-z/(z^2+1)
Res(∞,f(z)) = Res(∞,z(z))
=zg(z)|(z→∞)=-1/{1-(1/z^2)}|(z→∞)=-1

いずれの解とも違う解が出ました。
勘違いしてるのかなあ？

お礼

あ、すみません、(1)についての[a]のやり方なんですが、Res(0,f(z))は、z=0での展開をして、-1次の項の係数をみる、という形で考えて出しました。が、info22さんのおっしゃる留数の求め方を使うと・・・z=0での留数は1になって、Res(∞,f(z)) = -Res(0,f(z)) を使うと、z=∞での留数は-1になりますよね・・・なんで答えが合わないんでしょうか…沈。

補足

ありがとうございます。
やはり、自分の勘違いなのでしょうか。

あ、気になったんですが、
0での留数はlim(z→0){zf(z)}
でいいと思うんですが、
∞に行く時の留数も
lim(z→∞){zf(z)}
でいいんですか？