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転換法での証明の手順について
「Ａ，Ｂ，Ｃ，が起こりうる全ての場合の時 Ａ⇒Ｄ，Ｂ⇒Ｅ，Ｃ⇒ＦでかつＤ，Ｅ，Ｆの勝手な２つの一方が成り立てば、もう一方は成り立たない このときＤ⇒Ａ，Ｅ⇒Ｂ，Ｆ⇒Ｃは対偶をとると成り立つことが分かる」 これが転換法の手順なのだそうですけど、私がいまいちわからないのはどうして「Ｄ，Ｅ，Ｆの勝手な２つの一方が成り立てば、もう一方は成り立たない」という文脈が必要なのですか？なくても全然問題ないように思われるのですが・・・ 私は文系なのでかなりてこずっています。どなたか聡明な方、お願いします。
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- graphaffine
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>なんでDが成り立っているとするとA,B,Cのどれかひとつが成り立つんですか？ 「命題A,B,Cは必ずいずれかが成り立ち、且つ 二つ以上が同時に成り立たないとする。」 と私が書いたとおりです。 このことは、Dが成り立つかどうかとはまったく無関係です。
お礼
お礼遅れてスイマセン。時間はかかりましたが納得いくまで考えた末よく分かりました。感謝してます。ありがとうございました
- graphaffine
- ベストアンサー率23% (55/232)
何となく言い方の問題がありそうなので 私が認識している言い方で説明してみます。 転換法：命題A,B,Cは必ずいずれかが成り立ち、且つ 二つ以上が同時に成り立たないとする。 命題D,E,Fについても同様とする。 このとき、Ａ⇒Ｄ，Ｂ⇒Ｅ，Ｃ⇒ＦならばＤ⇒Ａ，Ｅ⇒Ｂ，Ｆ⇒Ｃが成り立つ。 証明 Dが成り立っているとする。このとき、A,B,Cのどれかひとつが成り立つが、仮にBが成り立つとすると、Ｂ⇒ＥよりEも成り立ち、D,Eが同時に成り立つことになり、矛盾する。同様に、Cが成り立つとしても矛盾するからAが成り立たなければならない。従ってＤ⇒Ａ。他も同様。
補足
ごめんなさい 分かりません・・なんでDが成り立っているとするとA,B,Cのどれかひとつが成り立つんですか？
- y_hiroaki
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「Ｄ，Ｅ，Ｆの勝手な２つの一方が成り立てば、もう一方は成り立たない」……★ この条件を★と呼ぶことにします。★を取り去ってみましょう。そうすると、与えられた命題は次のようになります。 Ａ，Ｂ，Ｃ，が起こりうる全ての場合のとき、 「Ａ⇒Ｄ，Ｂ⇒Ｅ，Ｃ⇒Ｆ」⇒「Ｄ⇒Ａ，Ｅ⇒Ｂ，Ｆ⇒Ｃ」 この命題に反例を与えることにします。なんでもよいのですが、例えばｘを自然数として、 Ａ「ｘ＝１」 Ｂ「ｘは４の倍数」 Ｃ「ｘは１でも４の倍数でもない自然数」 Ｄ「ｘは奇数」 Ｅ「ｘは偶数」 Ｆ「ｘは２以上の自然数」 このようにＡ～Ｆを定義してみましょう。 これは、Ａ⇒Ｄ，Ｂ⇒Ｅ，Ｃ⇒Ｆを満たします。 しかも、Ａ，Ｂ，Ｃはすべての自然数を尽くしています。 (Ａ，Ｂ，Ｃはｘについて起こりうるすべての場合である、ということです) しかし、これらのＡ～Ｆは★を満たしていません。 実際、例えばＥとＦをとってくると、Ｅが成り立てばＦも成り立ってしまいますね。 このときにどのような不都合が起こるかは明らかです。 Ｄ⇒Ａ「ｘが奇数ならばｘは１である」 等々、わけのわからない命題が出てきてしまいます。 以上より、★がないと不都合であることが分かりました。 一応、どうして転換法での証明が可能なのか示しておきます。 「命題」を「集合」と考えると分かりやすいでしょう。 以下、∨を「または」、∧を「かつ」、～を「否定」とします。 （証明） 集合Ｓ、Ｔを Ａ∨Ｂ∨Ｃ＝{起こりうる事象の全体}＝Ｓ Ｄ∨Ｅ∨Ｆ＝Ｔ と定義します。Ｔは必ずしもＳと一致する必要はないことに注意してください。 ★より、Ｄ∧Ｅ＝Ｅ∧Ｆ＝Ｄ∧Ｆ＝φ（空集合）です。 Ａ⇒Ｄ，Ｂ⇒Ｅ，Ｃ⇒Ｆより、 Ａ⊂Ｄ，Ｂ⊂Ｅ，Ｃ⊂Ｆ 従って、 ～Ｄ⊂～Ａ，～Ｅ⊂～Ｂ，～Ｆ⊂～Ｃ これを書き換えると、 （Ｓ∨～Ｄ）∨Ｅ∨Ｆ⊂Ｓ∧（Ｂ∨Ｃ）＝Ｂ∨Ｃ （Ｓ∨～Ｅ）∨Ｄ∨Ｆ⊂Ｓ∧（Ａ∨Ｃ）＝Ａ∨Ｃ （Ｓ∨～Ｆ）∨Ｄ∨Ｅ⊂Ｓ∧（Ａ∨Ｂ）＝Ａ∨Ｂ となります。ゆえに、一番上と二番目の式を左辺同士、右辺同士、それぞれ「かつ」でつなぐと ｛（Ｓ∨～Ｄ）∧（Ｅ∨Ｆ）｝∧｛（Ｓ∨～Ｅ）∧（Ｄ∨Ｆ）｝⊂（Ｂ∨Ｃ）∧（Ａ∨Ｃ）＝Ｃ つまり Ｓ∧（～Ｄ∨～Ｅ）⊂Ｃ よって、 ＤでもＥでもない⇒Ｃ が言えます。 これをすこし制限して、Ｆ⇒Ｃ が言えます。 Ｄ⇒Ａ，Ｅ⇒Ｂについても同様です。（証明終）
補足
難しいです・・ＥとＦをとってくると両者が成り立ち、そうするとなんでＤ⇒Ａが成立するんですか？
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