緯度と経度について

質問

例えば、半径 R=1 の地球儀を考え、下記の定義を行う事によって座標系を定義したとします。

[座標の定義]
+ O(0, 0, 0) ... 地球儀の中心
+ X(1, 0, 0) ... 北緯 90°の点
+ Y(0, 1, 0) ... 緯度: 0, 経度: (西経)90 の点
+ Z(0, 0, 1) ... 緯度: 0, 経度: 0 の点

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この時、地球儀表面上の点 P(x, y, z) が与えられた場合、その緯度(a)と経度(b)を求める方法を教えて下さい。

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あと、この(a),(b)の値(量)は緯度と経度の定義が変わらなければ、唯一の値になると思うのですが、例えば緯度と経度の定義が下記のように反対になったとき(変わったとき)は、当然 (a),(b)の値も変わると思います。

その違いはイメージとしては判るのですが、うまく他人に説明できません。どなたかうまい説明の方法をご教示いただけないでしょうか。

[反対の定義]
通常の定義では、
(1) 経度を表す(地球儀上の)線はどの線を採っても 北緯90°(1, 0, 0) と 南緯90°(-1, 0, 0) のニ点を通ります。よって、どの経度の線同士を採っても互いに交叉します。
(2) 一方、緯度を表す線は、その線同士一切交わりません。
例えば、上記(1)(2)の特徴を反転して、緯度は必ず (0, 1, 0) と (0, -1, 0) のニ点を通り、経度は必ず他の(経度の)線と交わらないとする。

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よろしくお願いします。

回答No.2

postro

地球儀表面上の点 P(x, y, z)を与えて、その緯度(a)と経度(b)を求める方法とのことですが、
当然ですが、x, y, z　はx^2+y^2+z^2=1を満足させるように与えなくてはなりません。（地中とか空中の話なら別ですが）
現実にそういうふうに与える必要性があるのでしょうか？
緯度(a)と経度(b)を与えて、P(x, y, z)を求めるのが通常だと思います。その場合は
北緯a、西経b とすると
x=sin a
y=(cos b)(cos a)
z=(sin b)(cos a)
になりますよね。
どうしても必要ならこの３式をa,bについて解けばよいのでしょうけれど、
面倒そうだし、実際できるのかどうかわかりません。
[反対の定義]については、地球が北極と南極を結んだ線を軸に自転している以上、必要性が理解できません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
実は地球儀は単なる例えでした。

本当はあるロボットのアームを制御しようとしてたのですが、そのロボットのアームは、先の例の X軸心延長上に 経度(b)の角度(量)回転するモータ(B)が付いており、そのモータ(B)で回転する台の上に、緯度(a)の角度(量)回転するモータ(A)がモータ(B)の軸心とは常に直交する方向で付いています。そしてある1点 O を中心に(理論上は) 360°全球的に腕(の先)を触れます。

で、腕(の先)にある P(x, y, z) を定め、そのx, y, z が指示された時の a, b を求めようとした訳です。

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> 北緯a、西経b とすると
> x=sin a
> y=(cos b)(cos a)
> z=(sin b)(cos a)

の件はまだ確認していません。また確認できれば報告させてもらいます。
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> [反対の定義]については、地球が北極と南極を結んだ線を軸に自転している以上、必要性が理解できません。

ははは。確かに本当に地球儀に関する事であれば仰せのとおりですね。

ですが、上記した通り実際はロボットのアームです。で、この反対の件は、ロボットのアームが上記したモータの関係が逆のものもあって、「どちらでも ある P を指すには a, b は固有の値でいけるのでは??」って問題が違うのは判ってても中々うまく説明できないのです。

それで、どなたかこの辺をビシッと説明できるご回答をお持ちでないかな? と思っていたわけです。
## ちょっと、例が飛躍しすぎてかえって良くなかったも知れませんでした。

なお、引き続き、この辺りをビシッと説明できるご回答があればお待ちしておりますので、よろしくお願いします。