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体積の2等分、3等分の近似値
V={(x,y,z); x二乗+y二乗+z二乗≦1,z≧1}を水平に切って体積を2等分、3等分した時のz座標の近似値を求めよ。 おそらく、体積に関係したzの3次方程式を出してNewton法で近似値を求めるのだと思うのですが、三次方程式の出し方がわかりません。近似値はパソコンで計算できるので方程式の導き方を教えてください。 数学が苦手なので、なるべく丁寧な解説をお願いします。
- nakaji_1112
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>饅頭のような半球体の形をしています。 わかってますけど・まあ、いいや。 今ある点Zでx-y平面で水平に切るんですよね。 それを、例えば、ハムみたいに何枚も薄く切るというようなイメージをしてみて下さい。 z=0~z=Zまでをn個にスライスします。 1個あたりの幅はΔz:Z/nです。 このスライスしたものを 円柱と考えて、その体積を足し合わせることを考えます。 円柱の体積は、πr^2×h(底面積×高さ)です。 1枚目のハムの体積は、 r=Rsinθで ここで、Rは球の半径で1 sinθは、cosθ:Δz/Rに対応するθのsinです。 1=(sinθ)^2+(cosθ)^2 から (sinθ)^2=1-(cosθ)^2 で、cosθ=Δz/R=Δz なので、結局1枚目の円柱の体積は πr^2×h =π(sinθ)^2×Δz =πΔz(1-Δz^2) です。 2枚目の円柱はというと cosθ=2Δz/R=2Δz ですから同様にして =πΔz(1-(2Δz)^2) です。 これらを足し合わせると πΔzΣ1-πΔz^3Σn^2 ですから πΔzn-πΔz^3{n(n+1)(2n+1)/6}になります。 ここで、Δzn=Zですから(カッコのそれぞれに掛け合わせて) πZ-πZ(Z+Δz)(2Z+Δz)/6 になりますが ココで分割するnを大きくするとΔzは0とみなせますから πZ-2πZ^3/6 通分して πZ-πZ^3/3 ということになります。 半球の体積は、2π/3ですので、 その半分π/3になるZを見つければ良いということになります。
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- jisin74
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No.2です。 記号「^」はべき乗です。 つまり、「z^2」は「zの2乗」 あと、先の回答の誤字を訂正します。 1行目:誤「減点」→正「原点」
- at9_am
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概ね#3の方の回答でも良いと思いますが、パソコンで計算するとのことなので、それを意識して書きます。 いま、d = 1/n とします。つまり xy 平面に水平に高さが n 等分になるように切る、ということです。そうすると、断面は円になりますが、その半径は三平方の定理から r(m) = √(1 - m*d^2) になります。ここで m は、下から m 番目の切り取られたディスク状の物体の上の面の半径になります。 m 番目のディスクの体積 V(m) を考えると、更に縦に切ったとき、その断面は台形近似できるので D(m) = (r(m)+r(m-1)) d /2 と書くことができますので、 V(m) = πD(m)^2 と近似的に求めることができます。 半球の体積は、2/3πになりますから、Σ[m=1,l]V(m)≒1/3π、Σ[m=1,l]V(m)≒2/9π となるように l を求めれば良いことになります。 プログラムとしては、簡単な計算とifによる判別だけで行けると思います。
- jisin74
- ベストアンサー率21% (23/106)
Vは、減点を中心とする半径1の球体ですよね。 No.1さんもご指摘ですが、z≧1は?? まずは問題文を再確認することをお薦めします。 体積自体は、高さzでの水平断面の円について、半径をrとすればz^2+r^2=1というあたりから求められると思いますが。
- BLUEPIXY
- ベストアンサー率50% (3003/5914)
z≧1の時 x二乗+y二乗+z二乗は、 zだけで≧1になってしまいます。 球の体積の分割なんで 回転体の積分なんかでできるんじゃないでしょうか
補足
説明不十分ですみませんが、z≧0でVは饅頭のような半球体の形をしています。
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- 数学・算数
補足
またすいませんがz^2+r^2=1の^の表す意味がわからないので教えてください