面積を２等分する直線の出し方

質問

中３の数学なのですが、解き方がわからないのでどなたか教えていただけないでしょうか。

問題はこちらです↓

放物線y=3xの２乗のグラフと直線y=9/2x+3のグラフの交点がP(2,12),Q(-1/2,3/4)で、原点をOとしたとき△QOPの面積は15/4ですよね。
では、点Qを通って△QOPの面積を２等分する直線の方程式はどうやって出せばよいのでしょうか？

書き方がわかりにくくて申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

回答No.1

pocopeco · ベストアンサー

三角形ABC で、頂点Aから面積を２等分する線をひきたければ、辺BC の中点を通る点と結びますよね。
底辺が半分で高さは共通です。

なので、今回はOPの中点と点Qを通る直線を求めればよいのです。

回答No.3

miniture_min

はい。△QOPの面積は15/4で合ってます。

で、それを出した時の方法はどうやったのでしょう？
私は、QとPを通る線の切片が3なので、

3×(1/2)×(1/2)+3×2×(1/2)=15/4

と、出しました。

ここで、OPに対して平行で、Qを通る直線を引いてください。
そして、OQを底辺として向きを変えて眺めてください。
分かりますか？分かる人は、すでに分かるんですが・・・

要は三角形の底辺の長さが面積に比例するわけですから(高さは線OP上を動く限り固定されている)
それを1/2にしてやればいいわけです。つまり、

『線OPの長さを1/2にした点とQを通る線』

が、点Qを通って△QOPの面積を２等分する直線の方程式
になるわけです。

線OPの長さを1/2にした点(仮にRとする)って事は、P(2,12)なので、R(1,6)です。
これから、式を求めると、

y=(7/2)x+(5/2)

となります。
切片が5/2になったので、その△QORの面積は、

(5/2)×(1/2)×(1/2)+(5/2)×1×(1/2)=15/8

で、元の面積の1/2になっていますね。

お礼

みなさま、お忙しい中ご回答ありがとうございました。
早くご回答いただいた方から順にポイントをつけさせていただきました。

回答No.2

cak24890

全てを回答してはいけなさそうなので、考え方を述べます。
まず、三角形の面積は、底辺×高さ÷２ですから、三角形の面積を２等分するには、底辺を２等分してやればよいです。
ここで、点Ｑを通って△ＱＯＰの面積を２等分するので、△ＱＯＰの内、直線ＯＰを底辺と考えると、△ＱＯＰの面積を２等分する直線が通るべき点の座標が求まります。（仮に点Ｒとします）
点Ｑと点Ｒの座標が求まれば、その２点を通る直線の方程式は、連立方程式をたててやれば、求められます。

具体的な解答は、自分で導かれることをお勧めします。