高１数学の因数分解がわかりません汗；；

質問

x(y^3-z^3)+y(z^3-x^3)+z(x^3-y^3)を因数分解せよ

という問題で、答えが

(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)

になるはずなのですが、答えにたどりつくまでの過程がわかりません。
とてもこまっています(泣)どなたかわかる方、教えてください<(_ _)>

回答No.2

mikisuke_0226 · ベストアンサー

先ほどの回答で1点だけ補足です。

ここで、f(x)=x^3+(y^2+yz+z^2)x+yz(y+z)とおくと、
f(y)=0となるので、(x-y)を因数に持ち、

↑因数定理を使ったのですが、これを使えないということであれば、「ここで、f(x)=…」の前の行の式

=-(y-z){x^3+(y^2+yz+z^2)x+yz(y+z)}

の{　}内をyかzの降べきの順にまとめてたすきがけをしてください。
それで解けます。

お礼

-(y-z){x^3+(y^2+yz+z^2)x+yz(y+z)}
まではできていたのですが、あせっていたのもあって、そこから先が進みませんでした…
落ち着いて、yについて降べきの順に並べ替えて、たすきがけをしたら解けました。
わかりやすい回答、ありがとうございました。

回答No.3

postro

この場合、x,y,zの多項式で、x,y,zのどれか二つを入れ替えると、もとの式と符号（だけ）が変わります。
これを「交代式」と呼びます。この場合のようなx,y,zについての交代式には、
(x-y)(y-z)(z-x)を因数にもつという便利な性質があります。
つまり、「(x-y)(y-z)(z-x)を因数に持つに違いない」という予断を持って因数分解をやっていくと考えやすいです。
「交代式」の他に、「対称式」（←x,y,zのどれか二つを入れ替えてももとの式と同じになる）というのがあります。
「対称式」の性質はご自分で調べてみてください。

お礼

回答ありがとうございました。
今後参考にさせていただきます。

回答No.1

mikisuke_0226

まず、自分ではこうしてみたけどつまずいたみたいなのを入れてください。
何らかの課題やレポートのテーマを記載し、ご自分の判断や不明点の説明もなく回答のみを求める質問はマナー違反…　とありますし。

こんな感じで解いてみました。

x(y^3-z^3)+y(z^3-x^3)+z(x^3-y^3)をxの降べきの順にまとめて
-(y-z)x^3+(y^3-z^3)x-yz(y^2-y^2)
=-(y-z)x^3+(y-z)(y^2+yz+z^2)x+yz(y+z)(y-z)
=-(y-z){x^3+(y^2+yz+z^2)x+yz(y+z)}

ここで、f(x)=x^3+(y^2+yz+z^2)x+yz(y+z)とおくと、
f(y)=0となるので、(x-y)を因数に持ち、

=-(y-z)(x-y){x^2+yx-z(y+z)}

{　}の中、たすきがけにより

=-(y-z)(x-y)(x-z)(x+y+z)
=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)

となります。
何かあれば補足してください