統計

質問

Wald統計量の導出が出来ず悩んでいます。
どうやら、テイラー展開を用いる様なのですが…
なかなか手強いです。

回答No.1

at9_am · ベストアンサー

「Wald 統計量の導出」は、推定方法によっても変わってきます。一般的には、大数の法則によって制約Ｒβ＝ｑのもとで√ｎ・（Ｒｂ－ｑ）が漸近的に平均０の正規分布に従うということを利用して検定を行う統計量です。
詳しく載っているのは、例えば Greene "Econometric Analysis"などです。

Wald統計量の導出、ということですが、１）Ｆ統計量の導出は出来ますか？　２）大数の法則は理解できますか？　この二つが理解できれば、Wald 統計量と F 統計量はほぼ同じものなのです。

簡単にいえば、F[J,n] 分布が F=(V/J)/(W/n) として、n が充分大きくなれば（J は大きくない）J×F は漸近的に自由度 J のχ^2分布に従う。で、この J×F にWald統計量と名前を付けた、という理解で良いのではないでしょうか。

もし以上の説明で充分ではない、或いはそれ以上の事が知りたいということであれば、再度質問下さい。

お礼

ありがとうございます。上記の事は何とか理解に至りましたが…お言葉に甘えて再度質問させて頂きます！

『テイラー展開を用いての導出法というのは存在しないのでしょうか？それとも、厳密に導出する場合には用いるのでしょうか!?』

回答No.2

at9_am

＃１の補足です。
テイラー展開を用いた導出というか説明は次のようになります。

説明が面倒になるので、制約をβ＝θとします。
L()を尤度関数として、ｂを制約下における推定値とすると、L(ｂ)の勾配ベクトル g(b) を定義すれば H^(-1)＝g(b)g(b)'はｂの分散共分散行列になります。
またL(θ)をｂの周りで２次項までのテイラー展開をすれば、
L(θ)=L(ｂ)+g(ｂ)'(ｂ-θ)+(b-θ)'H^(-1)(b-θ)
となります。
尤度関数の最大値での微分ですので g(b) は０ですので、第二項は０になります。
また、第３項は Wald 統計量その物です。