1÷7の循環小数についてなのですが・・・。

質問

ずいぶん昔に気づいたことなんですが、1÷7の循環小数についてなのですが、
1÷7＝0.142857142857・・・・
なのですが、この142857という数字を2桁ずつに分割したとき、
14、28、57なのですが、この「14」を2倍したときの数字がその隣りの「28」になり、その28を2倍すると56、それを2倍にすると112、二桁区切りなのであぶれた百の位の数字1を前の56に足すと「57」。その112を2倍すると224。百の位の2を隣りの12（112の十の位と一の位です）に足すと「14」・・・。と言う風に、最初の「14」と言う数字を2倍していき、二桁区切りにして足していくとどんなに倍、倍、していっても142857...という数字になっていくのです。

14という数字を二倍していくと、
14　28　56　112　224　448　896　1792　3584・・・
二桁区切りにして、あぶれた上の位を前の数字に繰り上げていくと、
14　28　56+1　12+2　24+4　48+8　96+17　92+35・・・
14　28　57　14　28　56　113　127・・・
14　28　57　14　28　56+1　13+1　27+・・・
14　28　57　14　28　57　14　・・・

という具合で、142857が続きます。

ちょっと文章では伝わりにくいですね・・・。言ってる意味わかりますか？

私はこの法則を中学のときに発見して、そのときは特に何も感じず、誰にも言わないでいたのですが、大人になった現在、急に気になってしまい、この数字の法則は結構有名なものなのか？「～の法則」みたいな名前とかあるのか？というのが知りたいのです。本当に単純な好奇心なのです。誰かご存知の方いらっしゃいましたら教えて下さい。

回答No.7

shkwta

これは数学的に証明できることなので、何兆桁まで行っても破綻しません。
もうすこし、一般的に考えてみましょう。

（１）出発値をAとします。これをn倍していきます。

A, nA, (n^2)A, (n^3)A, … 　[ア]

（２）各項の桁数をL桁にそろえ、L桁を超えた分は左の項に加えることにします。この「L桁を超えた分」を、s(1), s(2), ・・・　と表わすことにします。

A+s(1), nA-s(1)*(10^L)+s(2), (n^2)A-s(2)*(10^L)+s(3), (n^3)A-s(3)*(10^L)+s(4), …　[イ]

（３）[ア]の数列を、それぞれ10^(kL) (k=1,2,…)で割って加えた無限級数を考えます。

Y = A/(10^L) + nA/(10^(2*L)) + (n^2)A/(10^(3*L)) + …

（４）[イ]の数列を、それぞれ10^(kL) (k=1,2,…)で割って加えた無限級数を考えます。

Z = (A+s(1))/(10^L) + (nA-s(1)*(10^L)+s(2))/(10^(2*L)) + ((n^2)A-s(2)*(10^L)+s(3))/(10^(3*L)) + …

（５）YとZが等しいことを示します。

Z = A/(10^L) + s(1)/(10^L) + nA/(10^(2*L)) - s(1)/(10^L) + s(2)/(10^(2*L)) + (n^2)A/(10^(3*L)) - s(2)/(10^(2*L)) + … = Y

つまり、「各項の桁をL桁にそろえて、L桁を超えた分を左の項に加える」操作を何度やっても、無限級数の和 Y の値は変わりません。

（６）Y を求めます。
Y = A/(10^L) + nA/(10^(2*L)) + (n^2)A/(10^(3*L)) + …
Y(n/(10^L)) = nA/(10^(2*L)) + (n^2)A/(10^(3*L)) + …
ゆえに
Y(1 - n/(10^L)) = A/(10^L)
Y = A/((1 - n/(10^L))*(10^L)) = A/(10^L - n)

（７）Yは有理数なので、循環小数です。このことから、「各項の桁をL桁にそろえて、L桁を超えた分を左の項に加える」という操作を繰り返すと、必ず循環する数列になることが証明できます。

ご質問の場合では、A=14, n=2, L=2　です。
Y = 14/(10^2 - 2) = 14/98 = 1/7
ですから、求める数列は1/7の循環小数を２桁ずつに括った 14, 28, 57, 14, 28, 57, …です。

お礼

なかなか色々と考察していただきありがとうございました。この1÷7だけでなく、色々な数字でこういった性質があるということがわかっただけで十分です。
shkwtaさんにはNo.6の回答で色々なバージョンについて考察していただいたので感謝です。