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状態遷移の確率について
初めて質問させていただきます。 よろしくお願いします。 下記の問題が頭から離れなくて困っています。 明確な回答がございましたら、回答願います。 「あるシステムに状態Aと状態Bの2つの状態が あるとし、常にこの2つのいずれかの状態で あるとする。 状態Aから状態Bに遷移する確率は70% 状態Aが状態Aのままである確率は30% 状態Bから状態Aに遷移する確率は40% 状態Bが状態Bのままである確率は60% であるとすると、このシステムが状態Aで ある確率はいくらか?」 友人に質問したところ、単純に、 「状態Aが状態Aのままである確率と、 状態Bから状態Aに遷移する確率の合計だから、 (40+30)/200 = 35%」だと言われましたが、 いまいちすっきりしません。 以上。よろしくお願いします。
- kappa_
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以下のような考えはどうでしょう? 状態Aである確率をaとする。(状態Bである確率は1-a) 状態Aであることは、状態Aから確率30%でそのままであったことと、状態Bから確率40%で遷移してきたことの和である。これを数式として表すと、 0.3a+0.4(1-a)=a これを解くとa=4/11 状態Bであることは、状態Bから確率60%でそのままであったことと、状態Aから確率70%で遷移してきたことの和である。これを数式として表すと、 0.7a+0.6(1-a)=1-a これを解くとa=4/11 どちらも同じになった
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- age_momo
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遷移に必要な時間を1として、初期においてAである確率(割合?)をa(0),ある時間での確率をa(t),次の瞬間をa(t+1)で表すと a(t+1)=0.3a(t)+0.4(1-a(t)) a(t+1)=-0.1a(t)+0.4 a(t+1)-4/11=-0.1(a(t)-4/11) a(t+1)=(-0.1)^t*(a(0)-4/11)+4/11 lim(t→∞)a(t)=4/11 無限時間経過で4/11、#1さんや#3さんと同じになります。
お礼
ありがとうございます。 私の頭でぐるぐる回っていたことが シンプルにまとまりました。
- sunasearch
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ごめんなさい。 >Pn = 0.7Pn + 0.4(1-Pn) ではなく、Pn = 0.3Pn + 0.4(1-Pn) でした。 回答は#3さんと同じになります。
お礼
すばやい回答ありがとうございます。 理解できました。
- sunasearch
- ベストアンサー率35% (632/1788)
少し、語弊がありましたので、補足します。 >時刻nにおけるシステムが状態Aである確率 時刻nにおいてシステムが状態Aである確率をPnとおくと、 >定常状態では、n=mなので、 定常状態では、Pn = Pm なので、
- sunasearch
- ベストアンサー率35% (632/1788)
状態Aである確率をPとすると、 状態Bである確率は1-P 時刻nにおけるシステムが状態Aである確率 Pn = 0.7Pm + 0.4(1-Pm) (ただし、m = n-1) 定常状態では、n=mなので、 Pn = 0.7Pn + 0.4(1-Pn)より、 Pn = 4/7
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ありがとうございます。 すごくすっきりしました。