行列式による連立方程式の解の求め方

質問

連立方程式の解き方を教えてください。特に、ルートをどうやって処理するかわかりません。連立式は以下の10式です。変数も10個です。連立方程式は行列で解けるはずですが。。。
定数はQとｋとAです。
また、P1=0,P7=0,P13=0であり、残りのPが変数となります。

Q1+k(P3-P2)^(1/2)*A1=Q2+k*(P2-P1)^(1/2)*A2
Q3+k(P4-P3)^(1/2)*A3=Q4+k*(P3-P2)^(1/2)*A1
Q5+k(P5-P4)^(1/2)*A4=Q6+k*(P4-P3)^(1/2)*A3
Q7+k(P8-P5)^(1/2)*A8=k*(P5-P6)^(1/2)*A5+k*(P5-P4)^(1/2)*A4
Q8+k(P5-P6)^(1/2)*A5=Q9+k*(P6-P7)^(1/2)*A7
Q10+k(P9-P8)^(1/2)*A9=Q11+k*(P8-P5)^(1/2)*A8
Q12+k(P10-P9)^(1/2)*A10=Q13+k*(P9-P8)^(1/2)*A9
Q14=Q15+k(P10-P11)^(1/2)*A11+k*(P10-P9)^(1/2)*A10
Q16+k(P10-P11)^(1/2)*A11=Q17+k*(P11-P12)^(1/2)*A12
Q18+k(P11-P12)^(1/2)*A12=Q19+k*(P12-P13)^(1/2)*A13

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

stomachman、チョンボしました。訂正です。

>[6] 従って
>Q7+kA8 X7=kA5 X5+kA4 X4
>に現れるX7, X5, X4はいずれもP5を決めると2通りまたは4通りの
>値だけを取ります。

しかし、X4を決めるとX5は２通りのどちらかになるので、P5だけの式は全部で2×2×2=8通りできることになります。

お礼

簡単に解けると思っていましたが、ルートが入るとこんなにも複雑になるとは思っていませんでした。ですが、解の求め方がなんとなくわかりましたので、試してみます。ありがとうございました。この問題は、空間の圧力バランスを求めるもの：「流速V=k(P2-P1）^(1/2)と近似したもの」で、P5の値も指示値として決めることにします。

回答No.4

stomachman

連立一次方程式は行列を使って解くことが出来ますが、一次でない場合にはそうはいきません。でもご質問の場合、一次式の問題と、多項式の問題に分割して扱うことができます。

[1]扱いやすくするために変数変換
X1=(P2)^(1/2)
X2=(P3-P2)^(1/2)
X3=(P4-P3)^(1/2)
X4=(P5-P4)^(1/2)
X5=(P5-P6)^(1/2)
X6=(P6)^(1/2)
X7=(P8-P5)^(1/2)
X8=(P9-P8)^(1/2)
X9=(P10-P9)^(1/2)
X10=(P10-P11)^(1/2)
X11=(P11-P12)^(1/2)
X12=(P12)^(1/2)
をしましょう。

[2] すると
Q1+kA1 X2=Q2+kA2 X1
Q3+kA3 X3=Q4+kA1 X2
Q5+kA4 X4=Q6+kA3 X3
です。ここまでで４つの変数を含む３本の一次式が得られます。X1～X3を消去するのは簡単ですね。つまりX1～X3はX4だけを含む一次式で表すことができます。
X3 = ((Q5+kA4 X4)-Q6)/(kA3)
X2 = ....
X1 = ....
という具合です。一方X1～X4の間には（[1]をみれば分かるように）
P5=X1^2＋X2^2＋X3^2＋X4^2
という関係がありますから、この右辺のX1,X2,X3をX4だけの式で置き換えて整理すれば、右辺はX4だけを含む２次式
P5 = U (X4^2)+V X4 + W
で表されます。（U,V,Wは定数だけを組み合わせた式です。）これを解くとX4が未知数P5を含んだ式で表されます。解は２つ出ますので、それらをf4,g4とすると、
X4 = f4(P5)および X4=g4(P5)
ということになり、これでX1～X4は全部P5を含む式で表されます。

[3]次に
Q8+kA5 X4=Q9+kA7 X6
から、X6もX4で表せる。つまり
X6=((Q8+kA5 X4)-Q9)/(kA7)
です。
以上から、P5さえ決まれば、X1～X4、X6は（２通りに）決まります。

[4]それから
Q10+kA9 X8 =Q11+kA8 X7
Q12+kA10 X9=Q13+kA9 X8
Q14=Q15+kA11 X10+kA10 X9
Q16+kA11 X10=Q17+kA12 X11
Q18+kA12 X11=Q19+kA13 X12
ここまでで６つの変数を含む５本の一次式が得られます。だからX8～X12はどれもX7だけを含む一次式で表すことができます。一方、
P5=-(X7^2＋X8^2＋X9^2)+X10^2+X11^2+X12^2
という関係がありますから、右辺のX8～X12をX7だけで表せばX7に関する２次式が得られます。これを解くと、X7が、未知数P5を含んだ式で表されます。解は２つ出ますので、それらをf7,g7とすると、
X7 = f7(P5)および X7=g7(P5)
ということになり、これでX7～X12は全部P5を含む式で表されます。言い換えればP5さえ決まれば、X7～X12は（２通りに）決まります。

[5] さて、
P5=X5^2＋X6^2
という関係があります。一方、
X6=((Q8+kA5 X4)-Q9)/(kA7)
　=((Q8+kA5 f4(P5))-Q9)/(kA7) および ((Q8+kA5 g4(P5))-Q9)/(kA7)
です。
X5=±((X6^2-P5)^(1/2))
ですから、P5を決めたとき、X5には4通りの解があります。

[6] 従って
Q7+kA8 X7=kA5 X5+kA4 X4
に現れるX7, X5, X4はいずれもP5を決めると2通りまたは4通りの値だけを取ります。すなわち、この式に現れるX7,X5,X4をP5で表すと全部で2×4×2=16通りの式ができますね。どれもP5だけの式（平方根を含む）として表せます。
この１６個の式のうちのどれかひとつで良いから満たすようなP5を求めるわけで、答は沢山（複素数まで考えれば１６通り）出てきます。
P5が決まれば、X1～X12が全部決まり、従ってP2～P12も決まります。

回答No.3

dyadics13

係数も規則性があるので…
k*(P2-P1)^(1/2)*A2≡x1
などと置換すればかなりシンプルな
線形１次連立方程式になります。
しかしこの場合変数１３、式数１０となり
式数が足りなくなります。
P1=P7=P13=0
を利用することとなるでしょうが、
もう少し考えてみます。

回答No.2

guiter

rei00 さんも書かれていますが、
それぞれの方程式が Pi の線型結合で表されているときに、
連立方程式は行列を用いて解くことが出来ます。
今の場合はルートが入っているのでこの方法を使うことは出来ません。

回答No.1

rei00

全く自信なしですが，行列で解ける連立方程式は「連立一次方程式」じゃないですか？

　ル－トが入ったものも解けましたっけ？

　昔の記憶ですので間違っているかも知れませんが，その際は笑ってお許しを。