- 締切済み
微分の解き方が分かりません。
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- newtype
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f(x)は0ではない。という条件を忘れていました。 ryumuさんの意見のおかげでまだ証明が十分でないことがわかりました。 私の証明は 積の方はf(x)≠0とg(x)≠0の場合、 商の方もf(x)≠0とg(x)≠0の場合しか証明していません。 しかし、積の方はf(x)=0とg(x)=0の場合、 商の方はf(x)=0とg(x)≠0の場合もなりたちます。 これは代入してやればすぐわかります。 以上そろそろ終わりましょう。
- ryumu
- ベストアンサー率44% (65/145)
ほうほう・・・newtypeさん、対数フェチとみた!(笑) なるほど、対数ね。 でも、これは注意が必要。 対数を取るには、y=f(x)=g(x)=0とならないという条件も必要なので、正式な導き方とはなりません。 また、 (log|f(x)|)’=f’(x)/f(x) ;f(x)は0でない を先に証明する必要が出てきます。 それに伴って、合成関数のf(g(x))の微分も知っていなければいけないし・・ やはり本質を理解の理解のために、ある程度までは定義から公式も導く方が私はお勧めですがね。特に習いたての時は。 本当は定義から、e=lim(1+(1/n))^n ;(n->∞) も一度は自分で導くべきなんです。 安心して、(e^x)’=e^x が使えますから。
- newtype
- ベストアンサー率29% (14/47)
積や商の微分公式も対数を使うと簡単に求まります。 y=f(x)g(x)とする。 両辺に対数をとり、 log|y|=log|f(x)|+log|g(x)|となる。 両辺をxで微分して、 y'/y=f’(x)/g(x)+g'(x)/g(x) ⇒y'=f’(x)g(x)+f(x)g'(x) y=f(x)/g(x)とする。 両辺に対数をとり、 log|y|=log|f(x)|-log|g(x)| 両辺をxで微分して、 y'/y=f’(x)/f(x)-g'(x)/g(x) ⇒y'=f’(x)/g(x)+g'(x)f(x)/{g(x)}^2 ⇔y'={f’(x)g(x)+g'(x)f(x)}/{g(x)}^2 以上
- ryumu
- ベストアンサー率44% (65/145)
ふふふ・・・みなさん甘いですな^^; ちゃんと、本文中に”(h->0とする)”と断っておりますぞ^^; って揚げ足を取るだけでは進歩しないので、ついでに積と商の微分公式も簡単に導きましょう。 以下、h->0とする(強調)!!^^; y=f(x)・g(x) を微分しましょう。定義より、 y’=[f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x)]/h ここで、強引に(ここミソ) f(x)・g(x+h)を式中に作ります。 (別にf(x+h)・g(x)でもいい) しかし、いきなり出してもしょうがないので、 y’={[f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x)]-[f(x)・g(x+h)-f(x)・g(x+h)]/h ・・・(*) とします。つまり、[f(x)・g(x+h)-f(x)・g(x+h)]=0を足すんです。 すると、(*)式は、 y’={[f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x+h)]+[f(x)・g(x+h)-f(x)・g(x)]/h =[f(x+h)・g(x+h)-f(x)・g(x+h)]/h+[f(x)・g(x+h)-f(x)・g(x)]/h =f’(x)・g(x)+f(x)・g’(X) となります。これが積の微分公式です。 つまり、y=xCOSxの微分は、 y’=(xCOSx)=(x)’COSx+x(COSx)’=COSx-xsinx となります。 一方、y=f(x)/g(x)という商は分母のg(x)を払って、 y・g=f となります((x)は省略!!)。 これを両辺微分すると、積の微分公式より、 y’・g + y・g’=f’ 移行して、 y’・g=f’-y・g’ ここで、y=f/gであることを考慮すると、 y’・g=f’-(f/g)・g’ よって、 y’=[f’・g-f・g’]/(g^2) という商の微分公式が得られます。 公式も自分で導けると、何かと楽ですよ。 他にもネタはありますが・・・余り役に立たないのでいいでしょう^^; ほな頑張ってください。
- newtype
- ベストアンサー率29% (14/47)
すいません。矢印みたいなのありますね。 たとえば「きごう」と打って変換するといろんな記号が出てきます。 また「やじるし」と打って変換すると、いろいろな矢印が出てきます。 いんてぐらる→∫ しぐま→Σ など。
- newtype
- ベストアンサー率29% (14/47)
うふふ。ryumuさん、詰めがあまいですな。lim(h→0)が抜けとりますぞ。 ちなみに私も人のこといえせん。 「logf(x)=αlogx 両辺をxで微分して(対数微分法)⇒f’(x)/f(x)=α/x」 のところなんですがf(x)に絶対値記号を付け忘れています。 正しくは 「log|f(x)|=αlogx 両辺をxで微分して(対数微分法)⇒f’(x)/f(x)=α/x」 としなければいけませんね。 実はこの訂正もお礼が書かれたあとに書こうと思ったのですが…。
- ryumu
- ベストアンサー率44% (65/145)
もう皆さんが答えられているので、NO1のnewtypeさんの示した最後の式を、簡単に・・・ そもそも微分の定義は、関数y=f(x)があったとき、あるxとそれより微少量h増加したときの、yの変化の比率ですよね。 すなわち、 y’=[f(x+h)-f(x)]/h ;(h->0) ・・・(*) ということです。f(x)=x^nの時は、newtypeさんが示されています。 つまり、 (x^n)’=n・x^(n-1) となります。 では、 y=f(x)+g(x) という和の時は(例えばy=x^2-3xなど)、定義(*)により(h->0とする) y’={[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)]}/h ={[f(x+h)-f(x)]+[g(x+h)-g(x)]}/h =[f(x+h)-f(x)]/h +[g(x+h)-g(x)]/h =f’(x) + g’(x) となります。つまり全体を微分することは、それぞれを微分して足しても同じだっちゅうことですね。 例で言うと (x^2-3x)’=(x^2)’+(-3x)’ =(x^2)’+(-3)(x)’ =2x-3 となります。 私も高校時代に独学で先取りして微積分を勉強し、高校3年生の頃には、大学教養課程程度の問題もかなり解けるようになってました。物理を勉強する上でも、かなり得をした覚えがあります(単振動の一般式を導くなど)。 頑張ってください^^;
お礼
ご回答有り難うございます。 ほほう。最後の式はつまりそういうことになりますねえ(^^! 理解がまた一つ深まりましたよ。 うわあ。ryumuさんもすごいですねえ。僕は、つい最近微積分の勉強を始めたばっかりなのですが、ホント奥が深いんですねえ。分からないことずくめで・・・ 物理かあ・・・。なんか難しそうですねえ。まあ、ryumuさんもいろいろと頑張ってください!有り難うございました。
- kurimaki
- ベストアンサー率50% (1/2)
微分の計算だけの話でしたら、教えられます。指数の数を係数にかけて指数から1ひいた値をまた指数とします。つまり、x^nの微分は、nx^(n-1)ということです。例えば、x^3の微分は3x^(3-1)=3x^2 となります。従って、 y'=3x^(3-1)+(3/2)*2x^(2-1)-6x(1-1) =3x^2+3x-6 となります。(x^0は1です) 微分の原理については学校で習って下さい。
お礼
なるほど。計算ならば、簡単に解けるんですね。コツが分かりました。 ご回答有り難うございました。
- newtype
- ベストアンサー率29% (14/47)
ひょっとして、グラフを画く方法をお聞きしているのでしょうか。 それとも、線形性のことを聞いているのでしょうか。 補足求む。 (a^n)-(b^n)=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+…+a^(n-k){b^(k-1)}+…+ab^(n-2)+b^(n-1)] を見て、何なんだこの式は?とお思いになられたでしょう。実は「お礼」が書かれた後に証明しようと思ったのですが、まだ見ておられないようなのでいまやります 1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)=(1-x^n)/(1-x) (x≠1) という式は等比数列の公式から知っていると思います。x=b/aを代入して 1+(b/a)+(b/a)^2+(b/a)^3+…+(b/a)^(n-1)={1-(b/a)^n}/{1-(b/a)} 両辺にa^nをかけて a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+a^(n-3)b^3+…+ab^(n-1)=(a^n-b^n)/{1-(b/a)} 両辺に1-(b/a)をかけて {1-(b/a)}{a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+a^(n-3)b^3+…+ab^(n-1)}=(a^n-b^n) ⇔(a-b){a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+…+b^(n-1)}=(a^n-b^n) 以上
- newtype
- ベストアンサー率29% (14/47)
一部修正14、15、16行目 どちらも最後の項が(x+h)^(n-1)となっていますがx^(n-1)としておいてください。 これは8,9行目の式に代入して考えればすぐわかります。
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