剛体に働く力のつりあい

質問

僕は土木を志していて、モーメントなどはとても大事だと思いこの問題を解いてみたのですが、どうしてもこの問題が解けません。その問題は、「長さ40ｍで、質量が3.0×10の4乗ｋｇの橋の橋げたＡとＢの間にかかっている。Ａから10ｍの点に質量1.0×10の4乗ｋｇのトラックが走っていた。このとき、橋げたＡとＢはそれぞれどれだけの力を上向きに及ぼしているか。」という問題です。僕はＡの力+Ｂの力＝4.0×10の4乗・・(1)　そしてＢの力×40ｍ-トラックの重さと橋の重さを足した4.0×10の4乗＝0・・（2）で解いたのですが間違っていました。どう解いたらいいのか教えて下さい。詳しい解答や解説もお願いします。

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

おしいですね。(2)の式に、トラックや橋のＡからの長さを入れるのを忘れています。
トラックと、橋の重心が異なることに注意しましょう。
橋げたＡを支点とすると、トラックはＡから10 m、橋の重心はＡから20 m の点にあります。ですから(2)は
Ｂの力×40ｍ-トラックの重さ×10ｍ-橋の重さ×20ｍ＝0
としなければなりません。

※計算は重力単位でいいのですね？念のため。

お礼

分かりやすい解答有難うございます。この問題に2日ぐらい悩んでいたんですよね。解答教えてもらったら気持ちがスッキリしました。また分からないことがあったら宜しくお願いします。

回答No.3

mac-san

(1)力のつりあい
Aの力＋Bの力＝橋げた＋トラック＝4.0×10の4乗
これは正しいです。

(2)モーメントのつりあい
まず、どこでもいいですが、基準点を決めます。
例えば、A点を基準点とすると、
モーメントは力×距離なので、
Aの力×0 ＋ 1.0×10の4乗×10 ＋ 橋げたのモーメント - Bの力×40 ＝ 0
となります（A----Bとして、時計回りを正とする）。

次に、橋げたのモーメントはトラックとは違って均等分布荷重と考え、A点からxの距離にある微小要素dxのモーメントの和（積分値）となります。
つまり、
微小要素の重量：3.0×10の4乗 × dx/40
A点までの距離 ：x
これを掛けて、0-40まで積分すると
橋げたのモーメント＝ 6.0×10の5乗
と求められます。

あとは連立方程式を解くと、
Aの力 = 2250kg
Bの力 = 1750kg
と求められます。

別解としては、
橋げた重量はA、Bともに1500kgずつ均等荷重。
トラックの重量1000kgは、距離比10m：30mに分割して、近い方により重量がかかるので、A点に750kg、
B点に250kgがかかります。
よって、上記と同じ答え。

でも、感覚的な解答よりも、土木系志望ならモーメントの理解は不可欠だと思います。

お礼

やっぱり、土木には、モーメントは必要不可欠ですよね。詳しい解答有難うございました。良く分かりました。また、分からないことがあったら宜しくお願いします。

回答No.2

ryn

まず，
> Ａの力+Ｂの力＝4.0×10の4乗・・(1)
こちらの力のつりあいの式はあっています．

しかし，次の
> Ｂの力×40ｍ-4.0×10の4乗＝0・・（2）
の式が間違っています．
まず，(2) 式の左辺は1項目と2項目が違う次元になっています．
1項目は力×長さでモーメントとなっていますが，
2項目はモーメントではなく力のままとなっています．

モーメントは支点(今はAとしていますね)から
x[m]離れたところにF[kgw]の力が働いているとき
　Fx[kgw・m]
で表されます．

したがって，橋の質量，トラック，Bの力それぞれが
支点A からどれだけ離れているかを考えて
　(3.0*10^4)*20 + (1.0*10^4)*10 - (Bの力)*40 = 0
という式がモーメントのつりあいの式になります．
ただし，橋の質量はその重心(Aから20m)にかかっています．

あと，テキスト形式で数式を書くときには
10の4乗は 10^4 と書きます．

お礼

10＾4はすごいですね。ほんと、これ投稿するとき10＾4とかはどうすればいいんだろうって思いました。また、分かりやすい解答有難うございました。また、分からないことがあったら宜しくお願いします。