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さすがに集合はご存知ですよね。では位相空間といったら何か分かりますか？もし未習であればまず集合と位相から勉強されることを薦めます。僕も位相が分かるようになって初めて可測空間が分かるようになりました。 位相空間というのは集合に位相が入ったもののことですが、位相とは何かと言うと開集合系のことです。このことは少し分かりにくいので、位相空間とは要するに開集合が定まっている集合のことを言うわけです。Rを1次元ユークリッド空間とみなすとき、開集合というのはどんな集合かすぐに分かりますよね。簡単な例は、(0,1)などの開区間です。Rの部分集合の中には開集合でないものも混じっています。たとえば閉集合がありますし、開集合でも閉集合でもない集合、たとえば[0,1)などもあります。 可測空間とは要するに位相のアナロジーです。つまり可測集合とは何かが決まっている集合なのです。で、その可測集合を決めているのが要するにσ-加法族というやつです。σ-加法族とは要するに可測集合の集まりな分けです。ただしおそらく習われたでしょうが、σ-加法族はある公理： (i)全体集合を含む (ii)ある集合が可測集合だったら、その補集合も可測集合になっている (iii)加算個の可測集合の合併（和集合）も可測集合になっている を満たさなくてはなりません。位相につていも何でも位相と言うわけでなかったのと同じです。 たとえばものすごく簡単な例をあげると、{0,1}という二点からなる集合があります。ここに可測集合とは何か、という構造を入れます。{0,1}の部分集合は空集合、{0}だけの一点集合、{1}だけの一点集合、および全体{0,1}の4つしかありませんから、これらを全部可測集合であることにしましょう。そうするとこれは可測空間になるわけです。公理を満たすのはチェックすべきですが、当たり前ですよね。 復習です。ただの集合があって、その部分集合が開集合だとか、閉集合だとか言うことは出来ません。それはなぜかというと、単なる集合には開集合とは何かという取り決めがないから、開集合かどうかを判定する術がないわけです。そこで集合に位相を入れます。そうすると開集合とは何かということを決めたことになるわけだから、ある集合が開集合かどうかを判定することが出来るようになるわけです。同じように単なる集合があって、その部分集合が可測集合かどうかを判定することはできません。だって可測集合が何であるか決めていないわけですから。そこでσ-加法族をひとつ決めてやると、可測集合だったら必ずそのσ-加法族に入っているわけですし、非可測集合だったらそのσ-加法族に入っていないのだから、可測かどうか判定できます。つまり可測空間とは、可測集合がちゃんと決まっている集合というわけです。 可測集合がどんなものかを指定する方法、つまりσ-加法族を決め方は、σ-加法族の公理を満たしていればどのように決めてもいいので、同じ集合に複数のσ-加法族を決めることができることがあります（というかほとんどの場合必ず複数の構造が定まります）。たとえば実数の集合Rに異なるσ-加法族の構造を入れることができます。これはどういうことかというと、σ-加法族の決め方次第でたとえば(0,1)が可測集合になったり、ならなかったりするわけです。あなたが(0,1)は可測集合とする、って決めたら(0,1)は可測集合になるし、(0,1)は可測集合の仲間に入れない、と決めたら非可測集合になるわけです。 この辺りの数学はいよいよ抽象論的、公理論的な感じがし始めて、誰もが躓くところだと思いますが、簡単な練習問題を解いてみて理解していくしかないと思います。あまり偉そうなことを書くのもよくないですが、上の説明でしっくりこなかったらやはり教科書をもう一度読んでみて、それでなんとなく分かった気になるしかないんじゃないかな、と思います。おそらくそのうちそういうことなんだ、と思える日が来ると思いますので。
お礼
ありがとうございます！とても丁寧にこんなに親切に教えてもらえるて嬉しかったです！まだまだ未熟で分かりにくいところもありましたががんばって完全に理解したいと思います！