凸レンズのパラドクス

質問

自分の視点を中心として、そこからある一定の距離（半径）をとり、同心円状にある物体を隙間なく並べます。
その一個の物体の幅は、自分の視点から見て視角１０度とします。

この物体を、その同心円上に隙間なく並べると、３６個（１０度×３６＝３６０度）並びます。
そこで、自分の視点とその物体の間に凸レンズを置きます。

このレンズは、自分の頭とつながって固定されていて、視点の動きとともに一緒に動きます。
このレンズと対象物、レンズと視点の間の距離は常に一定で、このレンズは対象物を２倍の視角に拡大する能力を持っています。
レンズを通して、この物体を見ると一個の物体の視角は２０度となります。

そのまま、ぐるりと一周しながら、レンズを通してこの物体を見ると一個の物体の幅の視角は２０度ですから、３６個全部の物体を見るためには、２０度×３６個＝７２０度、即ち２周、回らなければなりません？？？？。

レンズによる拡大の程度は、常に視角で評価することにして、（別に２倍でなくても拡大さえすれば何倍でもかまいません。）幅の長さでは評価しないことにします。

長さで評価すると、レンズが動くときに拡大した分だけ対象物が速く動くから常に３６０度の中に収まるということになりますが、視角で評価すると対象物の動く速さは関係なく、常に（？）（対象物の視角）×（個数）分の角度、まわらなければなりません。

どこが間違っていますか。

回答No.12

redbean

おや、霧が晴れてきましたか。だったら読まない方がいいかも知れませ
んが、書いてしまったので載せます。

望遠鏡で対象物の視角が大きく見えるのは「錯覚」なのでしょうか。
この点について以下に説明します。

２倍の望遠鏡というのは、つまるところ、網膜上の像の大きさを２倍に
する道具です。これを人間の感覚の方から言えば、見かけの大きさが２
倍になった、視角が２倍になった、となります。

２倍の望遠鏡は距離を１／２にする、という表現がありますが、これは
単なるたとえであって、しかも静的な状況でしか通用しません。体を動
かしてしまうような場面では、この説明を使ってはいけないのです。
対象物が立体の場合もまずいですね。

天体望遠鏡で木星をご覧になったことがあるでしょうか。肉眼では点に
しか見えないものが、２００倍の望遠鏡をのぞけば円盤状に見え、しか
も模様まで見ることができます。これは錯覚などで説明できるような差
ではありません。結局、網膜上の木星の像が２００倍になっているとい
うことなのです。これを「視角が２００倍になった」と表現するのです。

しかし、２倍の望遠鏡で視角が２倍になるというのは人間の感覚上の
問題だから、「錯覚」と呼べるのではないか．．．．これも誤りです。
網膜上で像を２倍にするためには、水晶体に入ってくる光が２倍の角度
に開いていなければなりません。ですから光学上の視角も２倍なのです。
望遠鏡はそういう働きをしているのです。

このように、光学上の視角と感覚上の視角（網膜上の像の大きさによる）
は一致するので、普通は光学的な説明だけでよしとするのです。

では、質問の例に戻りましょう。

肉眼で視角１０度の物体は、網膜上で２ミリの像を作るとします。２倍の
望遠鏡を通すとこれが４ミリの像になり、視角としては２０度です。望遠
鏡をつけたまま首を毎秒１０度で回していくと、網膜上の像は毎秒４ミリ
で動いていくことになります（毎秒１個分動かなければなりませんから）。
これは「望遠鏡内の像が毎秒２０度で動いていった」と表現することがで
きます。

１周分の望遠鏡内の像を足すと７２０度で、２周になってしまうではない
か、というのは意味のない議論のように思います。望遠鏡内の像の実体は
網膜上の像なのです。７２０度分が同時に網膜上に映ることはないのです
から、まとめて考える必要はないでしょう。

補足

再度のご回答ありがとうございます。
またまた、霧がかかってきました。

双眼鏡を覗いて考えてみたのですが、ある対象物を見ながら双眼鏡を目に接した状態から徐々に離していくと、対象物の大きさは変わりませんが、見える範囲はだんだん狭くなっていきます。

普段、望遠鏡や双眼鏡を覗くときは接眼レンズをほとんど目に接した状態で見ますから、望遠鏡のレンズで作られた視角が、ほぼそのまま眼の中に入ってきて、あたかも網膜上に２００倍の視角が得られたように感じますが、離してみるとレンズと網膜との間の距離が離れるため、対象物は一部分しか見えなくなります。

レンズを覗いたときは視角の基準点がレンズに移動し、網膜上に入る視角は常に一定であると考えたほうがよいと思うのですが。